Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 



(^11 + y II ('«22 + ^22 — (■^12 + ^12-'')' 



A,2 [x + yi) = 



EG — F' 



■^11 ^22 "^22 Vll y.^ 



EG — F'' 

 und 



(3) à, [x + yi) = A^ ,T — «/ + 2i V (a:^!/) 

 ist, dass 



(4) A,,, (,r + yi) + 7^, (,t + yi) ^ i iîlil^^i^Âi-l^lil _,_ 2i KV {xy) 

 wird. 



Vom ersten Gliede auf der reciiten Seite dieser Gleichung wissen wir, dass 

 X,, = (D) X, ./■,,, = (/)') X, X,, = (/>") X 



?/,, = ir)) y. //,, = (/)') Y, y,, = (/)") r, 



wenn wir uns auL" eine Fläclie allgemeiner Art beziehen, für die (a) die erste Grund- 

 form und 



— dxdX — dydY—(hdZ = {[)) du"" + 2(/)') du dv + (/)") r/?)^ 



die zweite Grundform ausmacht. Hierbei werden X, F, Z die Richtungskosinus 

 der Normale der Fläche im Puidcte (,r, y, z). Es sei diese Fläche diejenige, auf die 

 sich die Gleichungen (d) beziehen, und 



(6) z = 'v (.r, y) 

 ihre Gleichung; dann wird 



X = — — =JL=, r= — J=, Z - ^ — p = i [x\ q ^ y' (?/) , 



]/l+p-^_)_^2 1/14. ^,. + ^2 |-l+^,2^,y2^ 



und wenn wir mittelst der zwei ersten Gleichungen (d) x und y statt « und ?' als 

 Parameter einführen, haben wir uns der Form (c), d. i. 



(7) (1 + p^) dx' + 2p,idxdy + (1 + r) äy\ 



als erster Grundform zu bedienen. 



Nach (5) wird das erste Glied auf der rechten Seite von (4) gleich 



(8) EG — F' 



XY=2iKXY 



K ist die absolute Krümmung der Fläche (6), weil es die von (a) ist. 



Was das zweite Glied auf der rechten Seite von (4) betrifft, so wird nach 

 Anwendung der oben angeführten Definition von V{C0) auf die Form (7) die frag- 

 liche Differentialinvariante 



