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A. V. Bäck lund 



Dass jene Integrabilitätsbediugung nur durch diese einzige von ß freie Gleichung 

 /Aini Ausdruck kommt, bestätigt vollends die anfangs dieser Nr. aufgestellte Behauptung. 

 Wenn to nicht die Gleichung (23) befriedigt, gibt es keine Lösung ß von (18) und 

 (21), Wenn dagegen w ein Integral von (23) ist, haben die Gleichungen (18) und 

 (21) c/j^ Lösungen, d. i. hier eine Lösung 



ß (u, i; C) + C 



mit C und C als willkürlichen Konstanten gemein *. 



7. Bilden wir nun die oben in Nr. 1 angegebenen Differentialinvarianten für 

 die vorliegende Form 



2Fdudv; 



sie werden 



' Fdi'dv 



F [du dv dv du) 



F duc 



8^0 a -^6 



dv^ [du dv) F [du dn dv^' dv dv duV F^ du dv du dv] 



und wir erkennen dann sogleich die Übereinstimmung von Gl. (18) und (12), von (21) 

 und (14), von (23) und (10) **. Letztere Gleichung ist auch als Integrabilitäts- 

 bediugung für das Gleichungspaar (12) und (14) zu betrachten, und diese (14) spielt 

 dieselbe Rolle für die Gleichungen (15), (1(3). 



Zusammenfassung der Formeln. 



8. Man befriedigt in allgemeinster Weise die Gleichung 



Edn' + 2Fdudv + Gdv' = da' + 2do,d^, 



wo E, F, G gegebene Funktionen von u und v darstellen, wenn man erstens unter 

 den Lösungen f der Gleichung 



eine als (o oder ß herausnimmt — mag für den Augenblick œ = ß sein — zweitens 

 eine Lösung 



CO («<, V, C) + C" 



* Gl. (23) ist auch aus Formel (7) S. 47 meiner Abhandlung in Bd. XV der Math. Annalen 

 herzuleiten. 



1 d'^ lo" F 



Für die Form 'iFdudv ist = — ^-V-^— • 



F du dv 



