Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 15 



Eine Differentiation derselben ergibt nämlich 



und 



i-j 3^ äjP ^ ^ äß aß "~ a^-8ß ~" 8ß 8^^- ~ 8ß äö&ß' 



also 



dx _ ^ 



Wir brauchen hernach nur diese Gleichungen (a), (b), (c) mit den Gleichungen 



8a 8ß 



zusammenzustellen, um die Richtigkeit der Gleichungen (25) zu erkennen. 

 Die Gleichungen (26) besagen nur, dass 



vx'^ = 0, =0. 



iiß r7. 



Einer gegebenen Fläche F gehöien ebenso viele Flächen F' an als Funktionen- 

 tripel (aßcü) von der in Nr. 8 besprochenen Art existieren. Da.fs diese F' Integrale 

 einer partiellen Differentialgleichung ziveiter Ordnung ausmachen, erkennen wir leicht 

 aus der folgenden Bemerkung, die wir auf die Gleichungen (24) — (26) stützen. 



Jedem Flächenelemente [i'xypq) von F, wobei p = — X! Z, q =^ — Y/Z ist, ent- 

 spricht bei gegebenem Funkt ionentripel (aßto) ein Flächenelement x' y' p q), wobei 

 p' = — A"/Z', q = — Y j Z' ist, dessen Eadiusvektor [x'y's') parallel der Tangeide der 

 Kurve o. = Konst, im Punl te (r, y, .") und dessen Normale (X', Y' , Z') parallel der 

 Tangente der Kurve ß = Konst, in demselben FimMe verläuft. Die Ebenen beider 

 Elemente stehen senkrecht auf einander. 



Wenn dann ein Streifen von Flächenelementeu {^'x'y'p'q) vorliegt, und wir 

 durch jeden Radiusvektor {x'y'z') und die betreffende Normale (X', Y', Z') des 

 Streifens eine Ebene legen, so wissen wir, dass sie dem Flächenelemente [sxypq] 

 von F parallel wird, das in bezug auf irgend ein, anfangs unbekanntes, Funktionen- 

 tripel (aßoi) dem Elemente [z'x'y'p'q) des Streifens entspricht. Wenn wir daher der 

 Fläche F eine Developpable umschreiben, deren Tangentenebenen den angegebenen, 

 den Punkten des Streifens angehängten Ebenen parallel gehen, so sehen wir in den 

 Flächenelementen von F an der Berührungskurve dieser Fläche mit der erwähnten 

 Developpabeln die den Elementen des vorliegenden Streifens hinsichtlich ein und des- 

 selben Funktionenti-ipels (aßw) entsprechenden Flächenelemente von F. Es werden 

 nämlich nach dem Vorausgehenden jedem dieser Elemente bestimmte Richtungen 

 dort entlialtener Bogenelemente von a- und ß-Kurven, parallel bez. den Radien 

 [x'y's') uud den Normalen (A", F', Z'] des gegebenen Streifens, zugeordnet. Hieraus 



