Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flüchen 



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Die Gleichungen von F: 



X = f{u, v), y = 'f{}(, v), = v), 



mit den besprochenen Werten von a., ß, w zusammengestellt: 



a = o.{h, + C, ß = ß(«/, v) + C", w = o,{h, v) + C", 

 führen mittelst der Formeln 



, _'èx , _dy_ , _de 



zu Werten von x\ y\ z\ die Funktionen von nur u und v ausmachen und somit 

 gerade eine Fläche definieren, die den angenommenen Streifen in [x y s) enthält 

 und auf die Fläche F ebenso bezogen wird, wie die Gleichungen (24) und (25) 

 besagen. 



Sie ist also eine F . Der Streifen im Räume [xxj z'), von dem wir bei unseren 

 Betrachtungen ausgegangen sind, war ganz beliebig genommen. Die Flächen F\ 

 die durch Auwendung der Gleichungen (24) auf die verschiedenen Funktionentripel 

 (aß(o) auf F entstellen, machen daher eine Gesamtheit von Flächen aus, von denen 

 eine, aber nur eine, durch jeden Streifen geht. 6Ve hestelten dann ans allen 

 Integralen einer partiellen Differeiitialgleichung zweiter Ordnung. Was ich oben be- 

 hauptet habe. 



11. Zwei Integralflächen dieser partiellen Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung, die sich in einem Punkte («', y\ z') berühren, also dort ein Flächenelement 

 {z'x'y'p'q) gemeinsam haben, müssen sich auf zwei solche Funktionenpaare (^ißi), 

 («2 ßg) beziehen, von deren a- und ß-Kurven je zwei, und ag, ßj und ß.^, sich 

 in dem dem vorigen [z'x'y'p'q) entsprechenden Elemente {^xypq) von F berühren. 

 Denn jetzt ist nach (24) und (25) 



, "èx dx dx dx 



X — —r- = X = = -, usw. 



Sßi c)ß2 ^^-1 8s 



und dann ist nach (a') und (a") 



dy-, 8C.2 ' Sßi ' 



wenn die mit den Funktionenpaaren (a^ ßj und (a^ ß,,) zusammengehörenden to-Funk- 

 tionen mit bez. «2 bezeichnet werden. Also ist 



1 dx 1 dr . dx dx 



= — — = cos X, cos ßi = — = — = cos ßg x, usw. 



^ 8ß, ^ aßo 



Aber es folgt hieraus weiter, dass, wenn F, eine zweite Fläche mit der obigen 

 (A) als erster Grundform ist und wir die partielle Differentialgleichung 2. O. bilden, 

 die für F, dieselbe Bedeutung hat wie die vorangehende für F, diejenigen zwei 

 Integralfläehen der neuen Differentialgleichung, die sich auf die nämlichen zwei Funk- 



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