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A. V. Bäcklund 



tionenpaare (a^ßi), {^2^2) — "'"'^ damit nach Nr. 8 auf die Funlstionentripel (a^ wj, 

 (a., ß,, 0^2) — beziehen *, wenigstens ein Flächenelement {z" x" y" p" q") gemein haben. 

 Die ZHiei Flächeneleniente [2 x y' p' q ) und [z" x" y" p" q") hedimmen einander offen- 

 bar vollständig, sobald F t(nd gegeben sind. 



Ebenso wie x dem Differentialquotienten 8a;/8ß. auf F bezogen, gleich ist, 

 wird natürlich x" demselben Differentialquotienten dxJdf->-, auf F^ bezogen, gleich, 

 und wenn wir für zwei benachbarte Flächenelemente [z' x y' p' q'), (/ -\- d/ , x -j- 

 -)- dx , y -)- dxj\ p' -|- àpî, q -\- dq), die vereinigt liegen **, nach Vergleichung mit den 

 Formeln (25), (b) und (c) der vorigen Nr. finden 



dx' = — — do. A — — , d?j, 

 8ß 8a ' &ß^ ' 



also dx = d{dx/d[i), auf F bezogen, müssen wir für die entsprechenden Flächen- 

 elemente [z" x" .. . q"), (/' + d:s'\ x" -\- dx", q" -j- dq'), die sich auf dieselben FunJc- 



tionentripel (aßw), (a -f dy. ß -|- d{i m -)- dw) wie jene beziehen sollen, dx" dem d{dxjd^), 

 auf Fj^ bezogen, gleich finden, usw., und schliessen hieraus, dass auf Grund von 

 (25), (b), (c) dz" = p" dx" -\- q" dy" ist: die Elemente [z" . .q"), [z" + dz" . . 5" + dq') 

 liegen dann auch vereinigt. 



Betrachten wir jene aus F abgeleitete partielle Differentialgleichung 2. 0. als 

 dem Räume {x y' z') und die aus F^ in derselben Weise abgeleitete als dem Eaume 

 [x" y" .i") angehörend, so erkennen wir somit die Existenz einer jACOBi-LiEschen 

 Berührungstransformation, die die Integralflächen beider Gleichungen einander eindeutig 

 zuordnet. 



Mit Ep, bezeichne ich diese partiellen Differentialgleichungen zweiter Ord- 

 nung. Sie sind von einander verschieden. Ich gebe am Ende von Nr. 16 die ana- 

 lytische Form einer Ej, an. 



12. Für die Aufsuchung aller Flächen mit einer gegebenen Form (A) als 

 erster Grundform bedeutet jedenfalls die Differentialgleichung E^ nicht mehr als 

 das System der Differentialgleichungen in Nr. 8, das zur Bestimmung aller zu (A) 

 gehörigen Funktionentripel (c.ßco) dient. Anders verhält es sich mit der von WEm- 

 GAKTEN in Comptes rendus T. CXII gegebenen partiellen Differentialgleichung ebenfalls 

 zweiter Ordnung, denn sie sagt uns ganz bestimmt, wie man die Kenntnis eines 

 einzelnen derartigen Fuuktionentripels für die allgemeine Lösung jenes Problems 

 (A) zu verwerten hat. 



* Die Grössen a^, ßj, lUj, (Zj, ßj, hängen auf in ganz derselben Weise wie auf F von 

 M, V ab, weshalb die a^- und Kurven auf F^ im Punkte {uv) einander berühren, wenn die a.^- und 

 tZj-Kurven auf F dies im Punkte {uv) tun; usw. Für dieselben Flächen sind auch x, y, z Funk- 

 tionen von ?t, V. Wenn wir aber für die Punkte von i*" schreiben ar =/(?t, w), y = <fiu,v), z='^(u,v), 

 wollen wir für die von F^ schreiben x^=f^iu,v), yi = fj(u,v\ = '\i^{u, v), um die Verschie- 

 denheit dieser für die beiden Flächen geltenden Funktionsformen hervorzuheben. Oben wird dx/d''-^! 

 von dxjdc-i verschieden, aber 8xj/8a, = oTj/ga^ = Z", 8a;,/8ßi = ga;,/3ß2 = x" usw. {X"IZ" = 

 = — p" nsM'.). 



** für die also dz' = p' dx' -\- q' dy' , d. i. Y^X'dx' — O. 



