Ein 8atz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 19 



Eines der F'unktionentripel (aßoj) wird als bekannt vorausgesetzt, es sei 



Ol = a(n, v), ß = {i{u, v), oj — co(a, ß), 



und wir denken uns für den Augenblick auf jeder der Flächen (A), d. i. F, I\ usw., 

 die Kurven a(u, t>) — C, [i(u, v) = C gezogen. Für diese F, F^ usw. werden x, y, z 

 verschiedenartige Funktionen von a, ß, und die Gleichungen (24), [2b) liefern dem- 

 gemäss zu F, F^ usw. * ebensoviel verschiedene Flächen F . Nun handelt es sich 

 um den analytischen Charakter der Gesamtheit dieser Flächen. 



Die Erledigung dieser Frage stützt sich auf die Elimination von a und ß aus 

 den Gleichungen 



X X Ar y Y ^ z Z = — 

 (29) + + . = 2^ 



a£ _ 



d^J. ~ 8ß ' 



von denen die zwei ersten aus den Gleichungen von Nr. 10 



^ aß 8a 87.' ^ Vö'^j aß 



oben schon abgeleitet sind und die dritte als eine der Integrabilitätsbedingungen 

 von (24), (25) zu deuten ist. Dass hierbei die zwei anderen Bedingungen 



aa ~ aß ' aa ~ aß 



nichts Neues ergeben, wird aus der Form des Resultats jener Elimination unmittel- 

 bar klar. 



Wir müssen offenbar zuerst der dritten Gleichung (29) eine für die fragliche 

 Elimination angemessenere Gestalt erteilen. Zu dem Zwecke rechnen wir nur mit 

 den zwei ersten der Koordinaten x , y\ z der Punkte einer F' als Funktionen von 

 a, ß, dagegen mit der dritten als Funktion von x , y\ ebenso wie wir dies mit 

 X\ Y', Z' tun, und schreiben deshalb die dritte Gl. (29) folgenderweise: 



dx' dX' dx' (IX dy' 



achten hierbei auch darauf, dass 



aa aa aa aa 

 8ß ^ aß ^ aß aß 



und differentiieren nachher die zwei ersten Gleichungen (29) nach a und ß, um 



* Zwei Flächen F, die bei gehöriger Translation zusammenfallen, sehen wir nicht als ver- 

 schieden an. 



