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A. V. Backlund 



schliesslich die Derivierten von x\ y' in Bezug auf 7. und ß fortzuschaiïen. Wir 

 bekommen in dieser Weise 



(31) 



Z 



rlK' 



ixZ'-zX)-^, ^{y Z ^zT\ 



= [x Z' — s X') — + [y Z' ~ z Y') 



8ß 





"dx 



dx 







dx' 















\ ?1L 





+ 



{x'Z' — ^' X') ^ + iy'Z' — z Y') ^ 



aß 



Die Elimination der ersten Derivierten von .r', y' aus (30) und (31) ergibt 

 jetzt die Gleichungen 



8a ~ dx' aß (Z//' 8ß ' ■ ga ~ aß ' 



und 



do} 



-7 + 



aaaß\d,2;' dy' ] aß^ \ cZ,r' rfy' (/;/' dx 



= 0. 



Die letzte Gleichung enthält a, ß nur in bekanntei- Weise, da hier die Funk- 

 tion a)(a, ß) als bekannt angenommen ist. 



Wenn die Hauptkrümmungsradien von ¥' mit [j^ und p2 bezeichnet werden, 

 haben wir bekanntlich 



dX' dT _ 



dx' dy' 



d 



d 



dx' []/ 1 _^ _j_ q'-ij dy" _^ p"2 ^ p 



f/XV/F dX' dY' 



dx' dy' dy' dx' dx' \^]/ 1 ^ ^ ^'2^ ^ _^ ^'2 



dy' [yZ-i + ^ q'^j dx' 1 _^ ^ ^'2/ P2 



und bekommen damit schliesslich als analytischen Atisdruclc für die Gesamtheit aller 

 F' , die dem Funldionentripel (aßw) entsprechen, die von Weingarten angegebene par- 

 tielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch Elimination von a, ß aus den 

 folgenden drei Gleichungen hervorgeht: 



(32) 



x X' + y' F + ^' ^' = 

 x'' + y" + z" = 2^ 



aw 

 8^ 



dy_ 

 a a 



aß 



