Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 



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Diese partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die vom AMPÈREschen 

 Type ist, bezeichne ich mit W,jr^. Den verschiedenen F'unktionenpaaren (aß) ent- 

 sprechen nicht nur ebenso viele Funktionen co -|- Konst., sondern auch ebenso viele 

 Gleichungen W.^o. Jede von ihnen hat mit jeder Gleichung Ep eine Integralfläehe F' 

 gemein. Unter diesen Integralflächen gibt es eine, die sich auf ein Streifenhüschel 

 reduziert, nämlich eines, als dessen Leitkurve die Gerade 



(33) x'-~iy' = \, / = 0 

 fungiert und dessen Flächenelemente die Bedingungen erfüllen: 

 (33') X' — iY' = 0, = 



Das ist die Fläche F' , die derjenigen F entspricht, die früher in Nr. 8 erwähnt wurde, 

 für deren Punktkoordinaten die Gleichungen gelten: 



(34) X = (« + lß, 7/=. — /(CO — ]ß), S = r,. 



13. Sobald wir die Gleichung einer Integralfläche von W,^j^ gefunden haben 

 — es sei 



(35) ^'=A^'^y') 



eine solche Gleichung — so fügen wir sie den zwei letzten Gleichungen (32) hinzu, 

 um x , )/, z , X', Y', Z' — wobei 



^, ^ / c^'') , Y' = / (y) 



1/1 + f'(xr-^f{gr 



zu setzen ist — als Funktionen von a, ß zu bekommen. Mit diesen Funktionen 

 liefern die folgenden aus (24) und (25) hervorgehenden Formeln : 



X = j[X' do. + x d^) 



(36) y = j[YdaJry'd^) 



z=j{Z' da 4- z' d[i) 



X, y, s als bis auf additive Konstauten bestimmte Funktionen nur von a und ß. 

 Sie ergehen dann auch eine von beliebigen Translationen abgesehen ganz bestimmte Fläche 

 F, der die Fläche (55) als eine F' entsjmcht. Hierin liegt die grosse Bedeutung der 

 WEiNGARTENschen Differentialgleichung W„p: durch ihre Integration und nachherige 

 Quadraturen [36] werden nämlich alle Flächen {Â) erhalten. 



14. Andere Funktiouentripel (a^ ß^ wj, (ct., ßg cog) usw., die der Forderung (B) 

 genügen, ergeben andere Differentialgleichungen ^a^ß^» ^'«^ß^ ^^^^ 

 Herleitung der Flächen F, F^ usw. keineswegs besser fördern als die schon be- 

 trachtete TFojß. Dies erklärt sich leicht aus dem Umstände, dass rait den Integral- 



