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A. V. Bäcklund 



flächen einer dieser Differentialgleichungen alle h\ F^, . . . und sodann eindeutig 

 auch alle Integrale der anderen Differentialgleichungen bekannt werden — voraus- 

 gesetzt natürlich, dass neben ex, ß auch a^, ß^; a^, [i^ usw. als Funktionen von u, v 

 gegeben sind. 



Es gilt auch von jenen ^V.j^o^, 1^.,, dass die eine aus der anderen durch 

 eine blosse Berührungsiransformation hervorgeht. Wenn wir nämlich jene W^a^ß,' ^«^ßj 

 als zwei verschiedenen Räumen [x y' 2'), [x" y" s") angehörend betrachten, so ist von 

 den einem Flächenelemente [z x y' p q) entsprechenden 00^ Flächenelementen [zxypq) 

 des Raumes der Flächen F, F,, ... zu bemerken, erstens dass sie alle wegen (26) 

 sowohl mit dem Radiusvektor [r') nach {x, y', ^') als mit der Normale {N') des gege- 

 benen Elementes {z' x' y' p' q') parallel gehen, und zweitens, dass in jedem dieser 

 {sxypq) vom Punkte [x, y,z) aus zwei Bogenelemeute von «j-, ßj- Kurven hervortreten, 

 von denen das eine parallel zu r' und dann, wie wir sogleich sehen werden, das 

 andere parallel zu N' verläuft. Die Werte von a^, ß^, die hierbei gleichseitig 

 sowohl dem [z x y' p' q) als auch allen jenen {.^xypq) zuzuordnen sind, gehen durch 

 Elimination aus den Gleichungen 



Ix'X'^^-^, lx'^ = 2'^ 



da, aßj 



hervor. Aber es folgt aus diesen Gleichungen, dass 



cos r 



da, f aßi 



und weil das rechte Glied dieser Gleichung bei allen Flächen F, F,, . . . für die 

 ds^ = do.,^ -\- 2d(ü, d^,, auch gleich cos ßj ist, so inuss, wenn man eine in 

 eine solche Lage gebracht hat, dass ihr Punkt {a, ßj) mit {x, y, s) zusammenfällt, ferner 

 das Element [zxypq) sich der Fläche anschliesst und ausserdem der hierin enthaltene 

 Bogen der von (a^ ßJ ausgehenden a^-Kurve auf F parallel zu r' wird, notwendiger- 

 weise der in demselben Flächenelemente enthaltene Bogen der ßj-Kurve derselben 

 F parallel zu iV" ausfallen. Zwei in diese Lage versetzte Flächen (A); F und F,, 

 haben nicht nur ihre a.,-, ß^- und w^-Kurven, sondern auch in [x, y, s) ihre gleich- 

 namigen a,-, ßi- und nach den Formeln in Nr. 8 dann auch ihre w-Kurven in Be- 

 rührung mit einander. Alle dx/d^t werden für beide Flächen einander gleich und 

 ebenso alle dx/d^i — im Punkte [x, y, z) selbstverständlich und für dasselbe i. 



Denken wir nun an die von demselben Punkte (a^ ß^) = [x, y, z) ausgehenden 

 «2" und ßg-Kurven unserer F. Sie führen mittelst der Formeln 



dX p" dX 



X =— , X = — = — , usw. 



ZU einem ganz bestimmten, sowohl von F als von dem zufällig angewandten jener 

 ao^ [zxypq) völlig unabhängigen, Elemente {z"x"y"p"q") des der Gleichung TF«^ 

 angehörigen Raumes [x" y" z"). In dieser Weise werden die Flächenelemente der 

 zwei Bäume [x y' s) und [x" y" s") einander eindeutig zugeordnet. 



