Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 23 



Bei zwei vereinigt liegenden Fiächeneleiiienten x' y' p' q'), (z' + d/ . . . q' -\- dq) 



für die dann d:z' — p dx' -\- q dij ist, rauss wegen der jetzt gleichzeitig statthaben- 

 den Relationen 



ZX'dx'^O, vx'-|^_0, vx'8jJ_Q* 

 8ß8a 8ß2 



notwendig sein: 



f)^x d^x 

 dx' == ~ do -| — — dB usw., 



also dx' inuss dem von den Differentialen da^, f/ß^ bewirkten Differentiale 



d-r 



d 



aßi 



gleich sein. Für den Punkt {x + dx, tj + dij, z -f dz), der im Elemente [zxypq) 

 jenem Punkte [x ■\- dx', y' -\- dy' , z -\- ds') entspricht, gilt folglich, dass 



dx dx 



dx = da. A —d^-,, usw. 



und daher, wenn wir die a^, ß^-Parameter anwenden, 



dx — f/a, -)- r?ß.,, usw. 



Für den Punkt [x' -f dx" , y" -f dy" , z" -\- da"), der demselben [x -\- dx, y + dy, 

 !s -\- ds) im Räume [x" y" z') entspricht, müssen wir dann nach (24) haben 



Aber da nach Nr. 10 



)a,8ß, ' 8ß,^ 

 so schliessen wir, dass jetzt auch 



= 0. 



Also: siiei vereinigt liegenden Flächenelementen des einen der swei Räume {x y' s') 

 und [x" y" s") entsprechen zwei Flächenelemente des anderen Raumes, die auch vereinigt 

 liegen. 



Die Integralflächen von Wçy.^ ß > ^«.^ß^' ^^^^ ^^^^ derselben durch 



die Gleichungen 



Zx ,, dx 



X = —r- usw., X = —r- usw. 

 3ßi Bßo 



hergeleitet werden, entsprechen einander auch eindeutig. 



Hieraus folgt nun eine ganz bestimmte Berührungstransformation, die beide 

 Gleichungen W^^^i^^, W^j^o^ mit einander verbindet. Wie oben behauptet wurde. 



* Die zwei letzten Gleichungen gehen als einfachste Folgen aus (25), (b), (c) in Nr. 10 hervor. 



