III. 



Eine mit Bianchis Transformation der auf die Flächen 

 zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen verwandte 

 Transformation einer W^^^. 



17. Ganz so wie wir uns in Nr. 10 aus der Form der Gleichungen (24), (25) 

 ohne besondere Rechnung von der Existenz der Differentialgleichungen E^, usw. 

 überzeugt haben, hätten wir auch aus denselben (24), (25) mit alleiniger Hinzu- 

 nahme der zwei nächsthegenden Folgerungen derselben : 



(41) ^"' = 2^' -^^=^' 



für die Gesamtheit aller F\ die einem gegebenen Funktionentripel (c/ßw) entsprechen, 

 schliessen können, dass sie durch eine partielle Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung (TVaß) '^^ charakterisieren ist. Aus jenen Gleichungen (24), (25) bestimmen 

 sich nämlich sogleich bei gegebenem Flächeuelemente [z x y' p q) die Richtungen 

 der Bogenelenieute der a- und ß-Kurven, die in den entsprechenden Flächenele- 

 menten [zxypq] verlaufen. Das erste Bogenelement geht dem Radiusvektor nach 

 {x , y\ s), das zweite der Normale {p\ q) parallel. Jene Flächenelemente (exypq) 

 werden also mit einander parallel und durch jeden Punkt geht ein einziges der- 

 selben. Die Gleichungen (41) ordnen allen diesen Flächenelementen wie auch dem 

 Elemente {z' x y' p' q) dasselbe Wertepoar (aß) zu. Ziehen wir hernach das Paar 

 zweier unendlich benachbarter Flächenelemente x' y' p' q), (/ -\- dz' . . . g' -f dq) in 

 Betracht, so wissen wir nach Nr. 14, das dx nur dann gleich 



d'-x c^X 



8ß8a ■ 8ß-' 



ist usw., wenn die Flächenelemente vereinigt liegen, und wir bekommen ferner mit 

 denselben da, d^ zu jedem Punkte [x, y, z) mit den Parametern a, ß einen unendlich 

 benachbarten Punkt [x -\- dx, y -\- dy, z -\- dz), für den nach (27) 



dx = X'da-}- x rfß, dy = Y' da + tj' (/ß, dz = Z da + s d^ 



ist und der in dem von den obigen Elementen [zxypq) liegt, das durch [x, «/, z) geht. 

 Dem neuen Punkt [x -\- dx, y -\- dy, z -f dz) gehört ein bestimmtes Flächenelement 



