Ein Satz von Weinj;arten über auf einander abwiekell>are Flächen 



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-\- . . . q -\- ilq) an, welches dem Elemente (/ -j- ds' . . . q' -\- dq') entspricht, und 

 dem neuen Flächenelement {0 -\- dz . . . q -\- dq) ist auch das vorige Wertepaar 

 (a -|- da, ß -f d[i) beizulegen. Die Ja, d^j sind vorerst durch die für x' -\- dx . . . 

 geltenden Gl. (41) zu bestimmen. 



Hieraus erhellt nun, dass jedem Streifen im Räume [x' y' s') ein Streifen im 

 Räume {xyz) nebst allen daraus durch beliebige Translationen hervorgehenden ent- 

 spricht, und dass ausserdem jedes Element jedes dieser Streifen mit je einem des 

 Streifens im Räume [x y' /) korrespondiert und mit ihm ein Wertepaar a, ß gemein hat. 



Und weil ferner durch jeden jener Streifen im Räume [xys) im Verein mit 

 den seinen Elementen zugefügten a, ß-Werten eine einzige Fläche F (rj7) geht, zu 

 der dieselben a, ß-Werte geliören *, und ausserdem alle diese F durch blosse Transla- 

 tionen aus einer beliebigen derselben herzuleiten sind, so geht daraus klar hervor, 

 dass durch den Streifen im Baume [x'y'e) eine, im allgememen aber auch nur eine, 

 einem bestimmten Fimktionenfripel (aßw) angehörige Fläche F' hindurchgeht. 



Weil der Streifen in R(x'y'z') ganz beliebig angenommen war, schliessen wir 

 hieraus, dass die Flächen F' Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung mit x , //' als unabhängigen Variahein und z als einsiger von diesen abhängigen 

 Variabein sind. 



Dies ist die vorhin erörterte WEiNGARTENsche Gleichung T^^o. 



18. Da somit die Flächenelemente [å' x y' p' q) mit Paaren von in den Funkten 

 [x, y, z) sich kreuzenden Bogenelementen von a-und ß-Kurven korrespondieren, so 

 ist leicht erkenntlich, wie das Rollen einer Fläche F auf einer anderen Integral- 

 fläche ^ von (37), wenn es in der Weise vor sich geht, als ob man die eine Fläche 

 auf die andere abwickeln wollte, also mit einer a- und einer ß-Kurve der einen 

 Fläche immer iu Berührung mit einer demselben Funktionentripel (aßw) angehörenden 

 a- und ß-Kurve der anderen Fläche — wie, sage ich, jenes Bollen von einer Drehung 

 der Fläche F' um den A)ifangspu)ili 0 der Cartesischen Koordinat enaxen begleitet ist, 

 wobei F' stets in Berührung mit <T>' tdeiht. Auch sind umgekehrt zwei sich im 

 Punkte [x , %j' , z) berührende Flächen F' , <ï>' stets mit Flächenpaaren F, ^ verknüpft, 

 die sich im Punkte {x,y,£) derart berühren, dass dort Berührung auch unter ihren 

 demselben Funktionentripel angehörenden a- und ß-Kurven statthat. 



Denken wir dann an die von Blanchi angegebene Transformation von auf die 

 Flächen zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen, oder lieber an die von mir in der 

 zitierten Abhandlung in Bd. 55 von K. Svenslca Vet. Akad. Handlingar versuchte 

 Verallgemeinerung derselben Transformation, so bemerken wir zuerst, dass hierbei 

 das Rollen in der eben beschriebenen Weise von einer Fläche F (37) auf einer 

 anderen Fläche <I> derselben Gattung (37) gewissermassen von grundlegender Bedeu- 

 tung für diese Transformation ist. Mit _F ist eine Schar von od' Flächen /,,... fest 

 verbunden, die bei jenem Rollen von F unablässig mitfolgen, und es wird nun nach 



* Sielie z. B. meine Abhandlung: Sätze aus Bianchis Theorie usw. in K. Svenska Vet. 

 Akad. Handlingar Bd. 55 S. 30. 



