Ein Satz von Weingarten ühev auf einander abwickelbare Flächen 31 



kreuzenden a-, ß-Kurven auf F in demselben Punkte diejenigen derselben Art auf 

 4> berühren, denen gerade die oben erwähnten do-, (iß- Bogen angehören. Die frag- 

 liche Transformation von BiANcm würde nun nach dem Vorhergehenden von 

 {zxi/pqci.iidad[-j) zu einfach unendlich vielen neuen Fiächenelementen [z^x^y^p^q^ 

 a' p' da' d^') als Berührungselementen zwischen /; und 'f; führen. Hier erwähle ich 

 beliebig unter den a'-, ß'-Lösungen der Form (42) — welche sämtlichen als 

 erste Grundform angehört — eine ein füi- allemal bestimmte Lösung aus. Die 

 durch Translationen erfolgenden Elemente -\- c, + «/i + ^, Pi, ß', do.\ d[i') 



würden in derselben Weise von den mit dem ersten {zxypqa.[id'y.d'^) parallelen Ele- 

 menten [z -\- c, X a, y -\- h, p, q, rj., ß, da., c/ß) herrühren. Aber diese Elemente (^j -|- 

 -\- c, x.^ -\- u, -\- h, p.^^, q.^, a , da d[-i') njüssen alle bei dem durch die Gleichungen 



(44) bewirkten Ubergang zum Räume (x" -i/" .:•") dasselbe Flächenelement x" p" p" q") 

 ergeben. Wir bekommen folglich aus dem Elemente [z x' y' iJ q) œ\ und nur co^ 

 verschiedene, Elemente [z" x" y" p" ij"). Wie ich oben behauptet habe. 



Das Resultat der in dieser Nr. angestellten Erwägungen lässt sich demnach, 

 wie folgt, aussprechen. 



Bianchis Transformation aller auf die Flächen zweiter Ordnung ahvickelbaren 

 Flächen soivie auch die von mir in 13 d. 55 von >^K. Svenska Vet. Akad. H((ndliiigar» 

 in Frage gestellte Verallgemeinerung derselben wird einer Flächentransjorination äqui- 

 valent, die in vier Gleichungen von der Form 



(45) Fi{z',x'. y', 2)', q', z" , x'\ y'\ p" , q") = 0, ?:=1,2, 3, 4, 



ihren Atisdruck findet und entweder dieselbe Weingartensche Differentialgleichung W.^o 

 unverändert lässt oder sie in eine andere W venvandelt. 



Aber bei sowohl W^jO als TF',^; kann jedes beliebige der den Gleichungen 

 (37) und (42) angehörenden Funktionentripel (aßoj), (a'ß'to') angewandt werden. Ist 

 für zwei dieser Funktionentripel eine Transformation (45) obiger Art gültig, so gelten 

 auch für alle die anderen Funktionentripel solche Transformationen. 



Die verschiedenen W^o sowie die TF',^- o' sind ja auch nach Nr. 14 zu je 

 zweien durch eine jACOBi-LiEsche Berührungstransformation mit einander verknüpft. 

 Eine Transformation (45), die von einer W^^p^ zu einer W\j_- führt, wird durch die 

 Berührungstransformation, welche letztere Gleichung mit IF',^" o.- verbindet, in 

 eben diejenige Transformation von der Form (45) verwandelt, die von W^,^ zu 

 TF'„-.ß-. führt. 



Jede dieser Transformationen (45) führt die Integralfläche F' der Gleichung IF^ß 

 in eine Schar von cd' Ivtegralflächen der Gleichung W\j' über. Aber für eine 

 beliebige W,jO gilt dies keineswegs. Es muss auch dahingestellt bleiben, ob jede 

 Integralfläche von W,j: y in oo' Integralflächen oder nur eine Integralfläche von TF^^ß 

 transformiert wird. (Vgl. Nr. 28 in meiner Abhandlung in Bd. 55 von K. Svenska 

 Vet. Akad. Handlingar.) 



