Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Fläcben 33 



Um die Verschiedenheit der möghcheu Transformationen (49), die im oben an- 

 gegebenen Sinne der Gleichung (46) angehören, etwas überbhcken zu können, scheint 

 es mir am besten, die Erörterungen der Nr. 26 — 28 meiner Abhandlung über mehr- 

 deutige Flächentransformationen in ßd. 50 von K. Svenska Vetenskapsakademiens 

 Handlingar in aller Kürze hier wiederzugeben. 



Wir deuten z^x'^ y'^-p'.q als Koordinaten von Punkten eines Raumes 72^ und 

 schreiben dann 



(50) / = Z, ,x' = X,, //'=-A;, i>' = X,. q' = X,. 



Für die Figuren in diesem Räume R^, mit denen wir uns beschäftigen wollen, die 

 zugleich Streifen oder Flächen in [x y' z') sind, gilt, dass nicht nur 



dZ = 1\ dX, -f P, dX, + I\ dX, + dX, 



ist, sondern auch 



d^' — ])' dx -f- q dy\ dp' == r' dx' + s' dy\ dq = s' dx -\- t' dy' , 



also 



(51 ) dZ = X, dX, + X, dX,. X, P^^P^ r' + P, s', — P^ = P, s' -j- P, t' . 

 Die Vergleichung mit (48) ergibt dann 



(52) »,' = PJP,, = {X, ~ P,)/P3 , v' = (X, - P.;)/P, 



und die Einführung dieser Werte (50), (52) von e', . . . v' in die Gleichungen (47) 

 liefert dann in als Ebenbild von Gl. (46) ein Paar von partiellen Differential- 

 gleichungen erster Ordnung 



^ (Z, X„ X,, AV X,, P„ P„ P3, PJ = 0 



(53) 



<!>,( ) = 0. 



Die Funktionsformen <I>, <[>j sind jedoch spezieller Art, Jede muss nämlich, 

 für V gesetzt, die folgende Bedingung erfüllen: 



öF 8F f)F 



(64) ■ (P.-A-)ij^ + (P,-X,)|j^ + P.|^ + P,i^ = 0, 



denn z. B. <i> ist gleich 



aI 7 y X V \" ^1 ^.s 



^1 y^, A^, A3, A^, —, — , 



.. — , ^^JJ, --3, , , 



\ -'^ 3 3 -^3 



20. Von Gleichungspaaren (53) in P^, sowie auch von den aus zwei parti- 

 ellen Differentialgleichungen 1. 0. allgemeinster Art dieses Raumes bestehenden 

 Paaren, gilt, dass die Mannigfaltigkeiten von Elementen [ZXP], die den l)eiden 

 Gleichungen eines Paares genügen, höchstens die Dimensionszahl drei erreichen; 

 es gibt m. a. W. nur ausnahmsweise Integral-M^ eines gegebenen Gleichungspaares. 

 Eine * wäre entweder durch zwei Gleichungen 



* Mk ist eine Mannigfaltigkeit von rx." zu je zweien vereinigt liegenden Elementen (ZXP), 

 M°k eine Punktmannigfaltigkeit von k Dimensionen. Zwei Elemente {ZXP), {Z dZ, X -f- f^-^, 

 P-{-dP) liegen vereinigt, wenn <IZ = YlPdX. 



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