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A. V. Bäcklund 



(55) f, (Z, Z„ X„ X3, XJ = 0, /, (Z, X,, X,, X3, XJ = 0 



im Verein mit den vier hieraus abgeleiteten 



vertreten, wobei X eine völlig bestimmte Funktion von Z, X^, X,,, X3, X^ * darstellt, 

 oder durch drei Gleichungen 



(57) f, {Z, X,. X„ X3, X,) = 0, /, (Z, X„ X„ X3, XJ = 0, f, (Z, X,, X„ X3, XJ 0 

 im Verein mit den daraus abgeleiteten 



S + ^- ^ + Mg + -^'tij + + tïj = ^' ^ = ^ ' - ^' 



wobei X und [j. durch eine, aber nur eine, Relation 



(59) F()., (x, Z, X,, X,, X3, XJ = 0 



mit einander verknüpft sind, oder sie wäre zugleich eine ikZ**^ oder ein Punkt. 



Auf jeder Integral-iüfj einer der zwei partiellen Differentialgleichungen des 

 gegebenen Paares gibt es eine Integral-.IA^ desselben. Nur .zufälligerweise vorhandene 

 Inteyral-M^ des Paares nehmen als gemeinsame Integral-M^ der beiden Differeniial- 

 gleichinigen eine besondere Stellung ein. Wenn z. B. von einem Gleichungspaare (53), 

 bei dem <î> und die Bedingung (54) erfüllen, die Rede ist, kann es höchstens 

 eine Schar von co- Integral-Jfj oder, wenn das Gleichungspaar eine Gleichung (46) 

 vertritt, eine lutegralschar ** von der Form 



(60) F{'s{Z, X,, X„ X3, XJ, (Z, Xj, A\„ X3, XJ) = 0 



geben, wobei z, '1 determinierte Funktionsformen, F ein ganz beliebiges Funktions- 

 zeichen bedeutet. Jedenfalls wird für alle Elemente {ZXP) einer Integral-ilSf^ von 

 (53), wenn <ï>, 4>j den in (47) stehenden Ä, B gleich sind, 



(61) [AB] = ()***. 



21. Von dem Falle, ivo die drei Gleichungen {47), {61) go^ Integral-M^ gemein 

 haben, will ich hier folgendes bemerken. Wenn diese Integralschar durch eine 

 Gleichung 



(62) f{Z, X,, X, X3, X„ X, y) = 0 



mit x,y als arbiträren Konstanten darzustellen ist, so wird offenbar dadurch unser 



* oder Z,X„.. X„ P,, . . P^. 

 oder zwei Intogralscharen. 



^* [AB] = y] (1^, + p,. 1^) - + p,. 1^) . 



