Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Fläclien 



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ersten Derivierteu von f.^, ffg in bezug auf diese Grössen. Man kann also 

 keineswegs alle drei (p^, cp^, 'fg nach Belieben nehmen, wohl aber zwei, etwa 'f j, cpg, 

 und hat dann cpg durch die zuletzt erwähnte Differentialgleichung zu bestimmen. 

 Weil jedoch hier nur von den Variablen Z", Xj . . die Rede ist, die den Be- 

 schränkungen j = 0, = 0, rp 3 = 0 unterworfen sind, und wir etwa die zwei 

 ersten = 0, tp,, = 0 beliebig wählen dürfen, so können wir sie zur Elimination 

 von Xg, anwenden und nachher die dritte cp^ = 0 auf die Form Z — 4*3 i^v ^2) ~ ^ 

 gebracht denken, tvobei '{^3 dann durch die envähnfe BiferentiaJgleichung, die jetzt die Form 



(68") ^('1^3, X„ X„ dy^X,, d'hliX,) = 0 



annimmt, zu hestimmen ist. Wir wissen nun nach Cauchy, dass diese, wie jede 

 andere partielle Differentialgleichung 1. O. mit zwei unabhängigen Variabein A'^, 

 nur ein Integral hat, das durch die ilf "j : ('p^ = 0, 'fo = 0), X.^ = 'f(^^'i)i ^='\;i = 'H-^i) 

 hindurchgeht. Hieraus ersehen wir, dass durch eine M^^ des Raumes [ZX^ . . X^ 

 und damit durch eine Integral-Mj von (64) nur eine Integral-ilfg desselben Gleicli- 

 ungssystemes geht, die freilich nach dem Obigen eine charakteristische M.^ wäre — 

 ausser wenn sich es um eine singuläre Lösung '\^ = '\^[X-^, X^) der Gleichung F=0 

 handelte. In solcher Weise würden die zwei = 0, tp^ = 0 zu einer dritten Gleichung 

 (pj ^ Z — ([jj (A'p xYg) = 0 führen können, die mit jenen eine nicht-charakteristische 

 Integral-Jf2 von (64) lieferte. Durch sie könnte nur eine Integr<d-M^ von {64) hin- 

 durchgelegt tverden. 



23. Weil alle Integralmannigfaltigkeiten unseres Gleichungssystems, die von 

 höherer als der zweiten Ordnung sind, aus charakteristischen M, bestehen, müssen 

 aus co^ von den Integral-iüfg desselben alle anderen als Umhüllungen, sei es von 

 einfach oder zweifach unendlich vielen von ihnen gebildet sein. Eine in diesem 

 Sinne grundlegende oder, kürzer gesagt, vollständige Integralschar mit drei will- 

 kürlichen Konstanten x",g",s" ist durch folgende Gleichungen bestimmt: 



f, (Z, X,, x^. '"^'4. ^"^ ^") = 0 



(69) /, ( ) = 0 



wobei p eine Funktion von x" , y'\ z'\ Z, X^ X«, A'g, A'j ausmacht — falls bei Elimina- 

 tion von x'\ii'\z" aus diesen Gleichungen eben die drei Gleichungen (64) hervor- 

 gehen. Jede andere Integral-ilfj ist, wie gesagt, als ümhülluugsgebilde von un- 

 endlich vielen (69) zu betrachten. Man bekommt z. B. die Integral- J/g, die durch 

 die Integral-Jfg (68), (68') geht, die einer singulären Lösung von (68") entspricht, 

 einfach als Umhüllungsgebilde der gd^ Integral-Mg (69), die sie in ihren co^ Punkten 

 (68) berühren, d. h. mit der (68), (68') in je einem ihrer Punkte ein Flächen- 

 Element (ZXP) gemein haben. Wenn wir hierbei unter den Parametern x \ y'\ z" 

 dieser (69) den Zusammenhang 



