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A. V. Bäcklund 



Gleicbungssysteuie (71) angehören, erfüllt sein müssen. Diese Werte von z\x'...t' 

 sind aber diejenigen, die die Gleichung (73) befriedigen. Letztere Gleichung muss 

 daher auch aus (75), [78], {79) durch Elimination von x'\ y" , z" , [j hervorgehen. 



25. Die Gleichungen (75), (76), (79) begründen nach dem in Nr. 23 Aus- 

 einandergesetzten eine Transformation zwischen den Räumen [x y' z') Mwdi [x" y" z"), 

 die zwar von der Form [49] ist, jedoch imofern von einer speziellen Art als jedem 

 Elemente [z x y' p' q) ein Streifen (7.5), [76], {79) im Baume {x" y" z") entspricht. Wenn 

 wir noch beachten, dass die Integralflächen von (73) solche Mannigfaltigkeiten zweier 

 Dimensionen des Raumes {^' oc' y' })' q') ausmachen, für die dz' = p' dx' -{- q dy\ 

 dp' = r' dx -\- s dy' , dq = s' dx' -f t' dy' ist, auf welche sich ausschliesslich die 

 Gleichungen (51) beziehen, so wird uns leichtverständlich, dass sie im Räume 

 {x" y" z") Flächen z" = '^{x" , y") zu Ebenbildern haben, eben weil sie Integral-il/g 

 von (71) sind (Nr. 23), aber auch, dass sie die einzigen Flächen in {x y' z') werden, 

 denen in {x" y" z") Flächen entsprechen. 



26. Auf diese Klasse von Transformationen (49), bei denen jedem Fiächen- 

 elemente des Raumes {x y' z') oo^ Flächenelemente des anderen {x" y" z") entsprechen, 

 die stets zu je ziveien vereinigt liegen, also einen Streifen bilden, hat Jean Clairin in 

 seiner Abhandlung Sur les transformations de BäcMund, Annales de l'école normale 

 supérieure, 3:e série t. XIX (1902), zuerst die Aufmerksamkeit gelenkt und er hat 

 sie auch im einzelnen studiert. Ich bezeichne sie als CLAiRiNSche Transformationen. 

 Hier werden, wie gesagt, alle Flächen des Flaumes {x y' z'), die in Flächen in 

 {x" y" z") transformiert iverden, Integrale eiiier partiellen Differentialgleichung zweiter 

 Ordrmng. 



Sonst * wenn eine Traüsformation vorliegt, die von vier Gleichungen allgemein- 

 ster Art der Form : 



Fi{z',x',y',p',q',z",x",y",p",q") = 0, i = \, 2, 3, 4, 



begründet ist, werden in der Regel die Flächen in {x y z), die hierbei in Flächen 

 in {x' y" z") übergehen, keine Integrale ein und derselben partiellen Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung, sondern Integrale eines solchen Paares von partiellen 

 Differentialgleichungen dritter Ordnung, deren erste Derivierte sich nur auf drei von 

 einander unabhängige Gleichungen reduzieren. Dies trifft fast immer zu, wenn die 

 fraglichen Flächen der beiden Räume einander eindeutig entspechen **. Falls aber 

 bei der Transformation jede Fläche des {x" y" s"), die ihren Flächencharakter be- 

 wahrt, in nicht weniger als oo' Flächen des {x y' z') übergeht, dann müssen jene 

 Flächen in {x" y" z") Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung sein. 



" Für das Folgende möchte ich auf Nr. 25 meiner Abhandlung: Zur Theorie der partiellen 

 Differentialgleichung erster Ordnung in Bd. XVII der Math. Annalen verveisen. 



** Von einem ganz besonderen Ausnahmefall wird in folgender Nr. 27 gehandelt. 



