Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 



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Bei der im vorhergehenden erörterten CLAiRiNSchen Transformation gilt für den 

 ßaum [x" y" z") genau das zuletzt Gesagte. Jedem Elemente [s" x" y" p" q") ent- 

 spricht nämlich eine Schar von co^ Elementen [s x' y' p q), die im allgemeinen keinen 

 Streifen bilden. Einem beliebigen Streifen in [x" ij" z") entsprechen damit od- Ele- 

 mente {/ x' i/ p' q'), die sich auf co' verschiedene Streifen verteilen, die im allge- 

 meinen nicht ein und derselben Fläche angehören. Durch jeden dieser Streifen 

 geht eine Integralfiäche der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung in 

 {x' y' /), und /renn die CLAiRiNSche Tr mis formation der zwei Räume [x y' z') und 

 [x" y" z") eindeutig ist, gehen also durch den Streifen in [x" y" z") oo' von den 

 fraglichen Flächen, diejenigen nämlich, die den zuletzt erwähnten Integralflächen 

 der partiellen Differentialgleichung 2. 0. in [x y' z') entsprechen. Die Flächen des 

 Raumes (x" y" z"), die bei dieser Transformation nicht aufhören, Flächen zu sein, 

 tverden daher gemeinsame Integrcde ziveier partieller Diferentialgleichungen dritter Ord- 

 nung, deren erste Derivierte sich auf drei von einander unabhängige Gleichungen redu- 

 zieren — denn nur für solche Gleiehungspaare gilt, dass durch einen beliebigen Streifen 

 Go^ Integraltiächen gehen. Wenn dagegen jeder als solcher fortbestehenden Fläche 

 in [x" y" z") go^ Flächen in [x y' z') entsprechen, entspricht auch allen denjenigen 

 CO ^ Integralen der partiellen Differentialgleichung 2. O. in [x y z), die die erwähnten 

 CO ' Streifen in [x %j z) enthalten, eine einzige Fläche in (x" y" z"), nämlich eine 

 durch den dort beliebig angenommenen Streifen gebende Fläche, so dass die jetzt 

 in Frage stehenden Flächen des letzteren Raumes Integrale ein und derselben partiellen 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung werden — denn wenn durch einen beliebigen 

 Streifen eine, aber nur eine, Fläche eines vorgelegten Flächeusystemes geht, so be- 

 steht dieses Flächensystem aus allen Integralen einer partiellen Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung. 



27. Hiervon ist der Fall wesentlich verschieden, bei dem die CLAiRiNsche 

 Transformation denselben Charakter in [x" y" z") wie in [x y z') besitzt, bei dem 

 also jedem Flächenelemente jedes Raumes ein Streifen des anderen entspricht, in ivelchem 

 Falle auch alle Flächen, die bei der Transformation als Flächen fortbestehen, sowohl 

 in dem einen als in dem anderen Baume einer partiellen Differentialgleichung 2. 0. 

 genügen und ausserdem die Korrespondenz dieser Flächen der zwei Eäunie beiderseits 

 eindeutig ist. Indem wir wegen der Behandlung dieses Falles an die Entwicklungen 

 von Nr. 22 wieder anknüpfen und demgemäss eine CLAiRiNsche Transformation 

 aufnehmen, die einem Gleichungssysteme (64) zugeordnet ist, bemerken wir, dass 

 jedem Elemente [z" x" y" p" q") eine charakteristische iüf^ von (64) entspricht, die 

 folghch den Gleichungen (66), (67) genügen muss. Aber in dem jetzt in Frage 

 stehenden Falle würde diese ausserdem einen Streifen im Räume {x y z) dar- 

 stellen, also hierbei dz =p' dx -\- q dy' oder (50) 



dZ = Xg -f dX^ 



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