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A. V. Bänklund 



sein. Auf Grund der Werte (66), (67) von dZ, dX^, dX^ bekommt diese Bedingung 

 die Form 



IdF 3F dF dP \ 



[F, (P, - X,) + 5^ [P, ~ xj + ^ p. + ^ + 



+ l^.^.l(^(>'.-x,,+ ?^,n-.vj + ^P. + ?^n) + 



IdF dF dF dF \ 



Und wenn wir statt F^, F.^ die Funktionen 4>, <i>, von (71) einführen, die jederzeit 

 die Gleichung (54) befriedigen 



dV dV dV dV 



ajr (P. - -^'.l + apr - + «r + äp; = 0, 



so wird jene Bedingung einfach die folgende : 



IdF dF dF dP \ 



oder, weil wir hier von dem Falle abzusehen haben, dass der zweite Faktor ver- 

 schwindet, also Fg von derselben Form wie <ï> und (I>j ist, d. i. weil hier F'^ keine 

 F{s', x', y', q\ m', [i', v') ist, * kurz 



[<î) a>j = 0. 



F.'} muss daher im vorUegendeii Falle F^ In den Gleicltungen [71] gleich [4> 4>J 

 sein. Dies ist nötig — und auch hinreichend, denn dann besitzt die von den Glei- 

 chungen [71] begründete CLAiRiNSche Transformation denselben Charakter gegenüber bei- 

 den Bäumen [x y' e') und [x" y" s"). Wir haben jedoch hier ganz besonders den Fall 

 auszuschliessen, in dem die Gleichungen <ï> = 0, <î>j = O, [<I> <I>J = 0 ein involutori- 

 sches System in [ZX] ausmachen, in iceJchem Falle die partielle Differentialgleichung 

 2. 0. 4> = 0, <I>j = 0 in [x' y' e') ein vollständiges erstes Integral f(/, x' , y', p , q', "/]) — 0 

 gestattet. Denn in diesem Falle findet man bei den Gleichungen (66) X = [j. = v = 0 

 und dem Elemente x" y" p" r/') entspricht dann keine bestimmte Schar von go^ 

 Elementen (^' x' y' p' q), wie dies für eine CLAiRiNsche Transformation erforderlich ist. 



28. Ich fasse das in diesem Abschnitte Auseinandergesetzte wie folgt zusammen. 

 Wenn eine partielle Differentialgleichung 2. 0. 



(80) F{z\x\ ,/,p\q',r\s',t') = 0 



vorliegt, die bei Elimination von r', s', t' aus den Gleichungen 



F=0, r' -\- m' s' = , s' -\- m' t' = v' 



auf zwei Gleichungen führt: 



* Siehe Nr. 27 meiner Abhandlung in Bd. 50 von K. Sv. Vet. Akad. Handlingar. 



