Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 



43 



(80') 



und man sich die Aufgabe stellt, Transformationen anzugeben, die durch vier Glei- 

 chungen zwischen s\ x , y' , p\ q; z" , x", //", p" , q" zu definieren sind und eindeutig 

 sämtliche Integralflächen von F=0 wiederum in Flächen in (x" ?/",*") überführen, 

 so verwandle man erstens durch die Substitutionen 



/ =Z,x' = X,, j/ = X„ p' =: X3, q' ^ A;, m' = PJP„ (x' (X3 ~- F,)/}\, V = (X, - P,)/P, 



jene Gleichungen (80') in zwei partielle Differentialgleichungen f. 0. des Raumes 



die jedoch nicht von der Form /(/, ?/', j/, [x', v') = 0 sein darf, und suche 



nachher eine Schar, von Integral- ^3 des Gleichungssystems = 0, F^= 0, 

 Fg = 0 auf, die durch zwei Gleichungen ausgedrückt wird 



(82) f, [Z, Xj, X,, X3, X„ x", y'\ ,'■) = 0, /, (Z, X„ X^, X3, X„ y'\ /') ^ 0, 



wobei x \ //", ?" die willkürlichen Konstauten bezeichnen. Im Verein mit den aus 

 ihnen abgeleiteten zwei Gleichungen 



wobei [j eine von F^ völlig bestimmte Funktion von Z,X^,X^_^,X^,X^,x'\ y'\z" dar- 

 stellt, ergeben jene Gleichungen (82), (83), nachdem statt Z, X^, A'g, A'g, X^ die Grössen 

 z' , x' , y' , p', q wiederhergestellt sind, gerade eine Transformation der gesuchten Art. 



Je zwei Transformationen dieser Art, die zwei verschiedeneu Funktionen 

 entsprechen, gehen durch eine Berührungstransformation eines in einander über 

 — nach Nr. 28 meiner Abhandlung in Bd. 50 von K. Sv. Vet. Altad. Handlinga7\ 

 (Unter verstehe ich einen Raum von vier Dimensionen.) 



Während die Flächen in {x y' z'), die bei jenen Transformationen als Flächen 

 bewahrt werden, die Tntegralflächen der partiellen Dilïerentialgleichuug 2. 0. (80) 

 sind, werden die entsprechenden Flächen in [x" y" z") Integrale eines Paares von 

 partiellen Differentialgleichungen 3. 0., deren erste Dei'ivierte sich auf nur drei 

 Gleichungen reduzieren, falls nicht F^ gleich [<I> * gesetzt wird, denn dann wer- 

 den auch die fraglichen Flächen in [x" y" z") Integrale einer partiellen Differential- 

 gleichung 2. O. In beiden Fällen wird die Korrespondenz zwischen den betref- 

 fenden Flächen der zwei Räume [x y' z') und [x" y" z") gegenseitig eindeutig. In 

 anderen Fällen wo die Flächen in [x" y" z"), denen Flächen in {x' y' z') entsprechen, 



(83) 



// (*") + p/; {^') + v" (// {^") + p/; (.^")) = 0 



f.' {y") + p./;' in") + q iA' (/') + pA' (.^")) = 0, 



