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A. V. Bäcklund 



Integrale einer partiellen Differentialgleichung 2. 0. werden, muss jeder jener Flächen 

 in {x" u" .t") eine ganze Schar von od' Integralflächen von (80) entsprechen, während 

 doch jeder der letzteren Flächen nur eine Fläche in [x" y" z") entspricht. 



Wir haben hier immer von der Gleichung (80) vorausgesetzt, dass sie kein 

 erstes Integral mit zwei willkürlichen Konstanten gestattet. 



Die AMPKREsche Gleichung (46) ist ein Spezialfall einer Gleichung (80') und 

 für sie gilt daher, dass sie immer — wenn sie nicht gerade ein intermediäres 

 Integral 



eine arbiträre F{'t{2' x y' p' q ), <\{z' x y' p' q')) = 0 



gestattet — mit einer oder höchstens einer Zweizahl von partiellen Differential- 

 gleichungen zweiter Ordnung * durch eine CLAiKiNSche Transformation in einen 

 beiderseits eindeutigen Zusammenhang gebracht werden kann. 



Hierauf liat erst CLAmiN die Aufmerksamkeit gelenkt. Siehe seinfe Abhand- 

 lung: Sur quelques points de Ja théorie des transformations de Bäcklund, Annales de 

 l'école normale supérieure T. 30 (1913), sowie Nr. 12, 13 seiner oben in Nr. 26 

 zitierten Abhandlung vom Jahre 1902. 



Ich brauche wohl kaum daran zu erinnern, dass in dieser Theorie eine parti- 

 elle Differentialgleichung jeder daraus durch eine LiEsche Berühruugstransformation 

 hergeleiteten gleichwertig ist. 



Bemerke ich, dass sich die Bedingung dafür, dass die durch die vier Glei- 

 chungen (49) Fi{z\ x\ y\ p\ q\ z", x" , y" ,p", q") = 0, / = 1, 2, 3, 4, begründete Trans- 

 formation jedem Elemente {^s' x' y' p q) einen Streifen in [x" y" z") zuordnet, durch 

 die Formel 



(84) [I\ F,U,, [F, F,h^-> + [F, F,U,. [F, F,]u>> -f [F, F,]j,.\F, F,U^„ = 0 

 oder kürzer 



l\FiF,]„.^^,[FiF,„U',. = 0** 

 r.Kii 



ausdrücken lässt, so kann ich sagen, dass wir oben die analytische Aufgabe voll- 

 ständig erledigt haben: vier Funktionen 



Fl, -f 2, F.^, von /, x, y\p\ q', e", x", y'\p", q" 



so zu bestimmen, dass sie die zwei Bedingungen erfüllen: 



Ï \Fi F,U' [Fl FnU' =0. S [Fi FkU'' [Fi F^nW' - 0. 



1234 1234 



* je einer der zwei Scharen von Kontaktscharakteristiken 1. 0. der Gleichung (46) entsprechend. 

 ** Siehe meine Abhandlung: Über Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung in 

 Bd. XI der Math. Annalen (187fi) S. 421 Gl. (17) oder S. 426 Gl. A = 0. Vgl. auch meine oben 

 zitierte Abb. in Bd. 50 von K. Sv. Vet. Akad. Handlingar S. 43 Gl. (75), 



