Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Fläcben 45 



29. In Nr. 26 hatte ich an eine Transformation gedacht, die jede der Flächen 

 des Raumes ((x" ij" z"), welche bei der Transformation ihren Charakter als Flächen 

 bewahren, in co' Flächen in [x y' z') überführt, und hierz.u bemerkt, dass jene Flächen 

 in [x" y" z") sämtlich Integrale einer partiellen Differentialgleichung 2. O. ausmachen, 

 ganz unabhängig davon, ob sich die entsprechenden Flächen in [x y z) so ver- 

 halten, wie dies bei der oben behandelten CLAiRiNschen Transformation erklärt 

 wurde, oder nicht. Die fragliche partielle Differentialgleichung in {x' y" z") wurde 

 in meiner vorher erwähnten Abhandlung in Bd. XVII der Math. Annalen etwa 

 folgenderweise entwickelt. Wenn durch die vier Gleichungen 



(85) Fi{s\ x , y\ i>' , q , z'\ x" , y" , p" , q") = 0, i^h 2, 3, 4, 



die Transformation ausgedrückt wird, so denke man sich eine der fraglichen Flächen 

 in [x" y" z") durch die Gleichung z" = ^{x'\ y") dargestellt und diesen Wert von z" 

 zusammen mit den Werten p" = ff ' (a:") und q" = '{>' {y") in die Transformations- 

 gleichungen Fi = 0 eingeführt. Man wende sodann zwei dieser Gleichungen, etwa 

 = 0, F^ = 0, zur Bestimmung von x" und y" als Funktionen won x' , y' , z' , p' , q' 

 an und führe diese ihre Werte in die zwei übriggebliebenen Gleichungen F^ = 0, 

 F^ = 0 ein. Sie würden damit in zwei partielle Differentialgleichungen 1. 0. in 

 {x' y' z') verwandelt, die wegen der angenommenen Bedeutung von tp involutorisch 

 wären. Wenn ich sie durch F^ — 0, F.^ = 0 bezeichne, habe ich ihre involu- 

 torische Beziehung in der üblichen Weise durch 



[F,' F,']p^: = 0 



zu formulieren. Aber wenn wir z" statt (p als unbekannte Funktion wiederherstellen, 

 finden wir * 



(86) [F^ F^\ = 0 = [F, F,)jr. {F, F,]j,> + [F, F,)nn [F, F^]^. + [F, F,h„ [F, F,]n. + 



+ [F, F,Un [F^ F^]s. + {F, F,U„ [F, F,]r.' + (F, F,)j,., [F, F,]n' , 

 wobei zur Abkürzung 



(Fi FAß,, 

 * dx" dy" dy" dx" 



.p^, IdFi . (dFi . ,3FÅdFf: i'dFk , dFA dFi 



[FiF,U,^[^^^p-j — -^^^,+ q ^]^-[^+P^)^- ^ 



dFk , , dFÄ dFi 



dy' ' ^ dz' j dq 

 gesetzt ist. 



Wenn hei Elimination von z , x , y\ p , q aus den Gleichungen [85) und [86] 

 eine Gleichung hervorgeht, die von sämtlichen diesen Grössen frei ist, so sehen wir 

 hierin eine AMPÈBESche partielle Differentialgleichung ziveiter Ordnung des Raumes 



* Siehe Gl. (26) S. 312 Math. Ann. Bd. XVII (meine o. z. Abb.). Es ist Iiier oben 



