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A. V^. Biicklund 



{x" y" z"), deren Intcgralfläclien hei der Transformation (85) je eine Schar von oo' 

 Ilächen in [x y' z') ergehen. 



Dass in dem Falle, wo den Fläciienelementen [z" x" y" p" q") ganze Streifen 

 von Elementen (^' .r' p' g') entsprechen, die obige Rechnung ilu' Ziel verfehlt, ist 

 längst von Jean Claiein bemerkt worden, der auch solche Transformationen — ich 

 habe ihnen oben seinen Namen beigelegt — sehr eingehend behandelt hat. Sie 

 nehmen gewissermassen eine Mittelstellung ein zwischen den allgemeinen (85) und 

 den von mir in der Abhandlung: Uber partielle Diferentialgleichungen höherer Ord- 

 nung, die intermediäre erste Integrale besitzen (ö. 226 in Bd. XI der Math. Annalen) 

 betrachteten, die durch zwei Gleichungen 



f{z\ x', y\ p\ q\ x'\ y", z") = 0 

 z( ) = 0 



gegeben sind. Hier wird jedem [z x y' p' q'] eine Kurve zugeordnet, dort bei einer 

 CLAiRiNschen Transformation ein Streifen und bei einer allgemeinen (85) ein Konti- 

 nuum von go^ nicht zu einem Streifen zusammengehenden Fiächenelemeuten 

 [z" x" y" j)" q"). Vgl. auch eine Bemerkung am Anfange von S. 308 meiner Ab- 

 handlung in Bd. XVII der Math. Annalen. 



Sei noch folgendes bemerkt. Bei der eben erwähnten CLAiRiNSchen Trans- 

 formation tritt im Räume [x y' z') eine partielle Differentialgleichung 2. 0. auf, der 

 alle diejenigen Flächen dieses Raumes, die von der Transformation unversehrt ge- 

 lassen werden, als Integrale genügen. Wenn nun auch die Transformierten dieser 

 Flächen — die im Räume [x" y" z") als Flächen zu finden wären — als Integrale 

 ein und derselben partiellen Differentialgleichung 2. 0. in [x" y" z") aufträten, so 

 müssten sie allerdings den ganzen Inhalt von Integralflächen dieser Gleichung erschöpfen. 

 Denn einerseits geht durcli jeden beliebigen Streifen in [x" y" z") nur eine Integral- 

 fläche letzterer Gleichung, anderseits entspricht diesem Streifen eine ganze Schar 

 von Go^ Streifen im Räume [x' y' z'), und durch jeden geht in der Regel eine Inte- 

 gralfläche der Gleichung 2. 0. in [x y z). Unserer Annahme nach würden sie in 

 lutegralflächen der Gleichung 2. 0. in ix' y" z") transformiert werden, und diese 

 würden den angenommenen Streifen in diesem Räume enthalten. Sie mussten 

 daher sämtlich mit der eben erwähnten, der einzigen durch den Streifen gehenden 

 Integralfläche letzterer Gleichung, zusammenfallen. 



Wir haben jedoch nun von dem Falle abgesehen, wo auch jedem Flächen- 

 elemente {z" x" y" p" q') ein Streifen des anderen Raumes entspricht. Jeder solche 

 Streifen hat die für die Gleichung 2. 0. in [x y' z') charakteristische Richtungen, 

 ohne Charakteristik für sie zu sein *, und dann geht keine (ordinäre) Integral- 

 fläche dieser Gleichung durch ihn. Was dann die oo^ Streifen betrifft, die jetzt im 

 Räume [x y z') dem beliebig angenommenen Streifen in [x" y" z") entsprechen, so 

 gibt es freilich im betrachteten Falle keine lutegralflächen der Gleichung 2. 0. in 



* Vgl. Nr. 36, S. 61 meiner Abhandlung über mehrdeutige Flächentransformationen. 



