Ein Satz von Weingarten ülier auf einander aV)wicke]bare Flächen 



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(x' y' z'), die sie enthalten, zwar aber geht durch einen anderen Streifen, der als Um- 

 hüllungsgebilde jener co' Streifen anzusehen ist eine Integralfläche der Gleichung, 

 und sie ist die Fläche und die einzige Fläche, mit der jetzt die Integralfläche der 

 Gleichung 2. O. in {x" y" z"), die durch den angenommenen Streifen in diesem 

 Räume zu legen ist, in der Weise korrespondiert, dass jede die Transformierte der 

 anderen ist. 



Immer entspricht also jeder Integralfläche der aiu/enommenen partiellen Dißerential- 

 gleichiotg 2. 0. in {x" y" s") wenigstens eine Integralfläche der Gleichung 2. 0. in (x' y' z'). 



30. Als Beispiel einer CLAiKiNschen Transformation von teilweise der letzten 

 Art erwähne ich die folgende, die durch die vier von x freien Gleichungen be- 

 stimmt wird : 



(87) 



wobei (Gl. 84): 



^" //'.i''> <l) 



y"=Â{ ) 



P"=fsi ) 



Q"=fA ). 



■^•^ dx" ^^'dx" 



Es werden hier die Integralflächen der durch Elimination von x" aus den 

 Gleichungen 



dx' dx ' dij' ' ^ dy' 



erfolgenden partiellen Differentialgleichung 2. 0. die einzigen Flächen des Raumes 

 [x y' z'), die in Flächen in Ii" [x" y" z") übergehen**. Aber während jeder solchen 

 Fläche des R' [x y' z') nur eine einzige Fläche des R' (x" y" z") entspricht, muss 

 offenbar jede Fläche des letzteren Raumes nicht nur eine Fläche in R' {x' y' z'), 

 sondern auch alle, die durch ihre Translation längs der ;c'-Achse entstehen, ergeben. 

 Dann aber müssen alle die fraglichen Flächen des R" [x" y" z") ein und derselben 

 partiellen Differentialgleichung 2. 0. genügen. Man gewinnt diese Gleichung durch 

 die Formel (86), oder, wenn man die Gleichungen (87) zufälligerweise nach z\y\p',q' 

 folgeudermassen aufgelöst gefunden hat: 



* Dieser Streifen liat mit den cc' nmhüllten Streifen je ein E'Iächenelement genieinsam. 

 Siehe meine Abh. über melirdeutige Flächentransforinationen S. 44. Es ist 



dx' + 3/ + 9g^' dy' ~ dy^ dz' ^ ^ 3^ + dq' 



und ebenso 



d d 



