50 A. V. Bäckliind 



Wenn wir dann statt (A) . 

 (B) (/s^ = f/a^ + 2^?(ürfß 



als erste Grundform unserer Flächen F, F^, . . . anwenden, und als zweite Grund- 

 form derselben Flächen 



— läxdX = Dda^+ 2D'doLcl[i D" 



nehmen, so bemerken wir erstens, dass für die verschiedenen F,F^... die Koeffizienten 

 Z), Z)', D" verschieden ausfallen, zweitens dass sie Lösungen der drei Codazzi- 



GAussschen Gleichungen S. 24 ausmachen. Eine partikuläre Lösung derselben wird 

 durch folgende Dq,D\^, D'\ gegeben: 



Das sind die Werte der Koeffizienten der zweiten Grundform derjenigen Fläche, F^, 

 von den Flächen F, deren Gleichung in Cartesischen x, y, .^-Koordinaten aus den 

 folgenden Gleichungen durch Ehmination von a, ß hervorgeht: 



X = CO + \ ß , ?/ = — /(w — I ß) , ^ = a , 



wenn hier oj als Funktion von a und ß geschrieben ist. 



Gehen wir hernach zu den Flächen F' , F\ usw. über und rechnen wir mit 



Edo:- + 2FdoAV^ ^Gd^.\ Dda^ + 2D'dad^ + D"d^^ 



als beziehungsweise erster und zweiter Grundform von F' und beziehen wir D, D\ D" 

 auf diejenige Fläche F, aus der oben F' abgeleitet wurde, so haben wir 



J:= D"'~ F^ D D" G = D'"' — D'W 



D= D^D\ — DD\ D' = — E, D" = — F 



zu setzen und wenn wir die Hauptkrümmungsradien von F' im Punkte {uv) mit 

 pj, p2 bezeichnen, können wir hieraus schliesseu, dass 



1 _ D'D^ — DD\ 1 I 1 _ //'i>o — Z)/>"o 

 ^ ~ D"D', - D'D\' V,?," iy^D\ D'D\ 



und demnach 



PlPo \Pl Po/ 



(d) i)"-i--Z>' + ==0. 



^ ' P1P2 \pl P2/ 



Von der Bedeutung dieser Gleichungen handelt zunächst das Folgende. 



Die Flächen F\ F^', . . . die wir in der eben beschriebenen Weise mittels eines 

 Funktionentripels (aßw) aus F, F^ . . . ableiten, machen die Litegrale einer partiellen 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung mit x, y' als unabhängigen Variabeln und / 



