Ein Satz von Weingarten über auf einander abwickelbare Flächen 



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als davon abhängig aus. Diese Gleichung wird durch (c) dargestellt, ivenn a U7id ß 

 durch Elimination mittels der zwei Gleichungen '^x X' = dui/dcf., Y^x'^ = 2diu/d^ daraus 

 weggeschafft iverden. Dieser Satz rührt von Weingaeten her. Die angeführte hierzu 

 gehörige Differentialgleichung bezeichne ich mit TF„ß. 



Die verschiedeneu im Abschn. I erörterten Funktionentripel ß, cu; a^, ß^, to^^; 

 «2, ß2, ^2 . . . liefern beim Gebrauche in den Formeln x = 9z/9ß usw., x\ = 3.x/3ßj 

 usw. ebenso viele Flächen F' aus einer einzigen F. Diese F' werden sämtlich Integrale 

 einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung 



E{x\ y', z\p\ q\ r\ s\ t') = 0 . 



Da nun jedes Flächenelement [z x y' p' q) einen Punkt (a?, y, ^) auf bestimmt 

 oder eine diskrete Menge solcher Punkte, deren jeder einem Flächenelemente von 

 F angehört, das sowohl dem Radiusvektor nach [x , y' , 2') als der Normale (^Z, </', — 1) 

 des Elementes (z'...q') parallel geht, so folgt für die Punkte auf F, dass ihre ,r, ?/, ^ 

 ganz bestimmte Funktionen von x\ y' , z', p' , q' werden. Bei der Gleichung (d) kom- 

 men- diese x,y,z nur in D,D',D" vor. Durch Einführung jener ihrer Werte wird 

 dann (d) eine partielle Differential gl eichung 2. 0. des Raumes {x y' z') und auch gerade 

 die angeführte Gleichung E—0. Ich bezeichne sie mit E^. 



Je zivei der Gleichungen W^i^j, ^'^ißi' ^«sß« ' ' ' '^'"'^^^ dîirch eine jACOBi-LiEsche 

 Berührungstr-ansformation mit einander verknüpft, und dasselbe ist mit je zweien von 

 E^., E,. , E^^ . . . der Fall. 



III. Wir nehmen an, dass sich die Flächen F, F^ . . auf keine ümdrehungs- 

 flächo abwickeln lassen und finden dann von ihren Punkten, dass sie einander 

 eindeutig entsprechen, wenn wir bei der jetzt auf nur eine einzige Weise mögliehen 

 Abwicklung von etwa F^ auf F die Punkte jener Fläche, die sich hierbei mit denen 

 von F decken, als den letzteren Punkten entsprechend auffassen. Bringen wir dann F^ 

 in Berührung mit F in einem Punkte, der in diesem Sinne sich selbst auf beiden 

 Flächen entspricht, so finden wir von den durch diesen Punkt hindurchgehenden 

 a-Kurven der beiden Flächen, dass, wenn die «^-Kurven sich dort berühren, dies 

 auch für sowohl die anderen a.-Kurven als für alle ß.-Kurven zutrifft. Und hieraus 

 müssen wir schliessen, dass sich je zwei Flächen F' , F^ in einem Punkte (,/;', y' , e') 

 berühren, wenn sie aus zwei sich in der angezeigten Weise berührenden Flächen F 

 und F^, deren a- und ß-Kurven sich auch bez. im Berührungspunkte {x, y, be- 

 rühren, in der oben vorgeschriebenen Weise abgeleitet sind. Wenn daher F^ so 

 auf F rollt, dass immer der momentane Berührungspunkt sich selbst entspricht — 

 also Fj^ so rollt, wie wenn wir sie auf F abwickeln wollten — ■ dann dreht sich i^/ 

 um den Anfangspunkt der Cartesischen a;, «/, ^- Achsen, ohne die Berührung mit F' 

 aufzugeben; nur der Ort dieser Berührung wechselt. Und bloss beim Rollen jener 

 Art von F^ auf F geschieht es, dass F' bei der Drehung der Fläche F^' um den 

 Anfangspunkt der x, y, 2;-Koordinaten von letzterer Fläche immer berührt wird. 



