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A. V. Bäcklund 



Mit wird eine Schar von oo^ Flächen /j, ■ . . fest vereinigt und beim 

 Köllen von auf F werden die Tangenten beider iin momentanen Berührungs- 

 punkte in Gebrauch genommen. Sie werden auch Tangenten je einer der Flächen 

 /j, f., ■ ■ ■ und die ebenen Elemente dieser Flächen in den betreffenden Berührungs- 

 punkten seien e/, . . . Sie sind als mit dem momentanen Berührungselemente e 

 von F und F^ korrespondierend zu bezeichnen. 



Bei gegebenen F^ und F gibt es immer Flächenschareu (/^/g usw.), deren mit 

 den Flächeneleraenteu e von F korrespondierende Elemente (e/, usw.) zu co^ 

 Flächen ('fj, usw.) zusammengehen. Aber in besonderen Fällen geschieht das- 

 selbe bei gegebener F^ für jede beliebige der Flächen F, F^, i^g . . . d. i. beim Rollen 

 von F^ auf einer beliebigen, <ï>, der Flächen (B) und für ein und dieselbe mit F^ 

 fest vereinigte Flächenschar . ■ . Die Flächen dieser Schar wären dann sämt- 



lich auf einander abwickelbar und wären das auch auf jeder Fläche der Schar 

 9^, 'fg, . . . die den Ort der betreffenden e/, . . . ausmacht *. 



Dass letzteres für alle auf die Flächen zweiter Ordnung abwickelbare Flächen 

 gilt, ist von BiAjJCHi zuerst gezeigt worden. Dem habe ich mehrere Jahre später in 

 Bd. 55 von Sv. Vet. Akad. Handlingar Einiges hinzugefügt. 



Vom eben erwähnten Falle einer beliebigen Fläche <i> von der Gattung (B), 

 einer gegebeneu auf ihr rollenden F^ derselben Gattung im Verein mit einfach 

 unendlich vielen Flächen fx^f^--- einer Gattung 



(C) f7*'2 = fZ7.'2 + 2f7o/f7ß' 



und endlich der oo^ Flächen «p^, 'f o . . . derselben Gattung (C) als Inbegriffe der mit 

 den Flächeuelementen e. von <I> korrespondierenden e/, . . . von f^--- sei hier 

 nur bemerkt, dass, ebenso wie sich bei den Flächen F^ und 4> in ihrem momen- 

 tanen Berührungselement e zwei a-Kurven und auch zwei ß-Kurven berühren, be- 

 rühren sich auch in den mit diesem e korrespondierenden e/, ■ ■ ■ zwei a'- und 

 zwei ß'-Kurven von beziehungsweise und (f-^i/a und cfg» /s ^'^^^ 'h 



Jetzt bilden wir mit Hülfe eines der Form (B) angehörenden Funktionentripels 

 (7. ß oj) aus Fj^ und <I> die Flächen F^' und <ï>' und mittelst eines der Form (C) an- 

 gehörenden Funktionentripels (a'ß'w') aus /i./27 • • • Ti/f 2 ■ • • FlächenZ/./g', . . . (pi^tPg' ••• 

 Erstere gehören der Weingartenschen Differentialgleichung W^j^p, letztere einer Glei- 

 chung W'rj'i^^' als Integrale an. 



Wir bekommen dann aus der Transformation von <I> in die go^ Flächen 'fi/fg, ••■ 

 die beim Rollen von F^ auf <I> von den jene F^ begleitenden f-^,f2 ••■ in der eben 

 geschilderten Weise beschrieben werden, und besonders weil alle diese /,• und tp^ ein 

 und derselben Gattung (C) angehören, nach dem am Anfange dieses Abschnitts 

 Erörterten eine Transformation von W^^q in W'r,'0', die jede Integralfläche jener 

 Gleichung in 00' Integralflächen dieser vervandelt. Und die fragliche Transforma- 



* Nach dem Satze in Nr. 26 meiner Abhandlung in Bd. 55 von K. Svenska Vetenskaps- 

 akademiens Handlingar. 



