I. Die finite Induktion. 



Der Begriff der finiten mathematischen Induktion setzt den Begriff einer wolil- 

 geordneten Menge ohne Limeselemente voraus — oder, wie wir liier kurz sagen 

 wollen, den Begriff einer einfachen Reihe von Elementen (welche natürlich eine ab- 

 zählbare Menge bilden). Dieser letztgenannte Begriff muss daher so definiert werden, 

 dass die Induktion dabei nicht in versteckter Weise vorausgesetzt wird. 



Man kann sich hierbei folgendermassen einrichten. In einer Menge M gelte 

 folgendes : 



1) Von zwei Elementen a und b heisst immer das eine vorangehend, das 

 andere nachfolgend; kurz a<h [a vorangehend) oder h<a [h vorangehend); 



2) Aus a<h, h< c folgt rt<c; was bei Anwendung der Bezeichnung ]c>h 

 statt h<k mit sich führt: aus h>a, ob folgt 00; 



3) Sowohl die ganze Menge als auch jede Teilmenge hat ein »erstes» Element, 

 d. h. ein Element, welches allen anderen vorangeht; 



4) Jedes Element e mit Ausnahme für das in M erste hat ein »nächstvoran- 

 gehendes» Element v in dem Simie, dass v<e aber für kein Element a v<a<e 

 ist (kein Element »zwischen» v und e liegt). 



Wenn M unendlich sein soll, kommt hierzu noch: 



5) Es giebt kein »letztes» Element, d. Ii. kein Element ohne nachfolgende '. 

 Hierbei kann noch bemerkt werden, dass aus 3) und 5) unmittelbar folgt, dass 



es zu jedem Elemente e auch ein »nächstfolgendes» / giebt, für welches e nächst- 

 vorangeliend ist. 



Nun ist es aber bei so fundamentalen Verhältnissen von Bedeutung, dass man 

 die unvermittelt auftretenden Begriffe auf ein Minimum reduziert, oder m. a. W. 

 dass man »Definitionen durch Axiome» vermeidet. Im vorliegenden Falle gilt es 

 die vorläufige Vermeidung von »vor» und »nach». 



Ohne andere Begriffe als Menge, Element, Teilmenge zu benutzen, kann man 

 zunächst die Definition der einfachen Reihe in folgender Weise formulieren. 



Es sei M eine gegebene Menge, und man bilde eine andere Menge N nach 

 folgenden Vorschriften: 



1) M soll selbst Element in iV sein, und alle anderen iV-Elemeute Teilmengen in M ; 



' Vgl. etwa die Formulierung von A. Padga, Proc. of the 5:th internat. Congr. of Mathem., 

 Cambridge 1913, p. 478—79. Über eine Formulierung von E. V. Huntington s. unten. 



