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T. Brodén 



2) Jerie Teilinenge voii N bat ein Element, welches die übrigen als Teilmengen 

 enthält (also speziell: von zwei iNT-Elementen ist immer das eine Teilmenge des 

 anderen); 



3) Jedes iV-Element E nur mit Ausnahme für 31, bat ein »näcbstvorangehendes» 

 V in dem Sinne, dass T' gleich E plus ein ilf-Element ist; 



4) Für jedes iV^-Element giebt es andei'e, welche darin als Teilmengen eingeben; 



5) Es giebt kein M-Element, welches in allen Elementen von N eingebt 

 (oder: der > Durcbschnitt>' aller iV-Elemente ist gleich Null). 



Hierbei haben wir doch Unendlichkeit von M vorausgesetzt. Bei endlichen 

 M muss 4) wegfallen, sowie auch 1) und 2) eine leichte Modifikation erfahren. 



hl erster Hand für die iV-Elemente eibält m;in hier einen bestimmten Begriff 

 von »vor» und nach», wenn man von zwei solchen Elementen dasjenige »voran- 

 gehend» nennt, welches das andere ids Teilmenge enthält, und das letztere »nach- 

 folgend». Und dieser Begriff genügt offeidjar der Bedingung 2) der früiieren Defi- 

 nition. Ferner führen die jetzt aufgestellten Bestinnnungen leiclit zu einer (1, 1) 

 deutigen Beziehung zwischen den Elementen von N und von Jf, nämlich so, dass 

 jedes iV-Element E mit seinem »ersten» Element korrespondieit, wobei als erstes 

 dasjenige bezeichnet wird, welches in E aber nicht im nächstfolgenden eingeht (die 

 Existenz eines solchen »nächstfolgenden» folgt einfach aus 2) und 4) im Verein 

 mit 3)). Inbetreff dieser Korrespondenz ist es einerseits unmittelbar klar, dass jedes 

 iV-Element sein entsprechendes J/Element hat. Dass andererseits auch das umge- 

 kehrte gilt, zeigt folgende einfache Bettachtung; es ist zu beweisen, dass jedes M- 

 Elemeut e das erste Element in einem gewissen iV-Element ist; nun gebt e nach 

 5) nicht in allen iV-Elementen ein; und nach 2) giebt es unter denjenigen Elemen- 

 ten von N, welche c nicht enthalten, eines, welclies alle übrigen als Teilmengen 

 enthält; dasselbe beisse A, und das nächstvoraugehende B\ diese Menge B geht 

 aus A durch Hinzufügung eines J/ Elementes h hervor; B kann somit nicht Teilmenge 

 von A sein und also niclit zu den iV Elementen gehören, welche nicht entlialten ; folglich 

 gebt e in B aber nicht in A ein ; dies ist fernei', da B — A == />, nnr so möglich, dass A = 

 e ist; also geht e in B aber nicht im nächstfolgenden i\^-Elemente ein ; e ist m. a. W. das 

 erste Element eines iV-Eleinentes B, w. z. b. w. Mittels der hiermit dargelegten Korrespon 

 denz werden die Begriffe vor und nach auf die Elemente von ilf übergeführt. Und man 

 erhält in der Tat eben die Anordnung der vorigen Definition. Um dies zu zeigen, 

 braucht man zufolge der genannten Korrespondenz nur nachzuweisen, dass dasselbe 

 für die Elemente von N gilt. Dass sowohl die ganze iV-Menge als auch jede Teil- 

 menge ein erstes Element hat, geht ja unmittelbar aus den Punkten 1) und 2) der 

 späteren Definition hervor. Dass jedes iV-Ellement mit Ausnahme für ilf ein näclist- 

 voraugehendes hat, ist im Punkte 4) direkt au.sgesprochen. Und die Abwesenheit 

 eines »letzten» iNT-Elementes liegt unmittelbar in 5). — Dass nun umgekehrt auch 

 die erste Definitionsform die zweite in sich scbliesst, ist eben so leicht zu finden. 

 Man braucht nur für jedes i)f-Element die Menge zu bilden, welche aus diesem 

 Elemente und allen nachfolgenden besteht; dann erfüllen die so erhaltenen Mengen 



