Ül>er (tie finite und die transtinite mathematische Fndiiktion 



5 



alle in der zweiten Definitionst'orm für die iV-Elemente anfgestellten Bedingungen. 

 Es sei e ein beliebiges .1/ Eleinent, und E die dazu in der angegebenen Weise ge- 

 hörende Menge, und /* ein beliebiges nachfolgendes Element {h > e) mit der zuge- 

 hörigen Menge H. In der Menge H sind alle Elemente ^ h und somit, da h > e, 

 sieher >('\ gehören also der Menge E\ H ist daher Teilmenge von E. Da es ferner 

 nach 3) der ersten Definition für eine beliebige Menge zugeordneter Mengen gelten 

 muss, dass es unter den M-Eleraenten, zu denen sie geliören, ein erstes giebt, so 

 gilt — zufolge des soeben gesagten — Punkt 2) der zweiten Definition. Die Punkte 

 3) und 4) folgen unmittelbar aus 4) und 5) der ersten Definition. Endlich kann 

 es kein Jf-Element geben, welches in allen zugeordneten Mengen eingeht ; denn ein 

 beliebiges ilf-Element geht sicher nicht in derjenigen Menge ein, welclie zum nächst- 

 folgenden Elemente gehört. — Die beiden Definitionen sind also vollständig äquivalent. 



Wir fragen uns jetzt, ob die aufgestellten Bedingungen auf ein geringeres 

 Mass von Bestimmungen reduzicrhar sind, oder nicht. In Bezug hieiauf liegt fol- 

 gende Frage nahe. Aus den Punkten 2) und 4j im Verein mit 3) der zweiten 

 Definitionsform folgt, wie schon gesagt, dass jedes iV^-Element E ein »nächstfolgen- 

 des» hat in dem Sinne, dass es ein anderes Element giebt, welches aus E durch 

 Wegnahrae eines darin eingehenden If-Elementes entsteht. Wenn njan nun vor- 

 schreibt, dass dies stattfinden soll, und den Punkt 4) durch diese Annahme ersetzt, 

 lässt sich dann die Annahmt' 2) einfach wegstreichen? Dies gilt in der Tat nicht, 

 da es sehr leicht ist, Beispiele zu finden, welche zeigen, dnss 2) nicht aus 1), 3), 5) 

 mad dem modifizierten 4) folgt. Obgleich es vielleicht überflüssig sein könnte, n^ag 

 ein solches Beispiel hier angeführt werden: man nehme als M die Menge aller 

 n — 1 }z — 1 



Zahlen der Form oder 2 + , wo n positiv und ganz ist; sie hat die Häu- 



u n 



fungsstellen 1 und 3, welche nicht zur Menge gehören; als Elemente der Menge iV 

 nehme man diejenigen Mengen, welche aus einem Elemente in Mund allen im gewöhn- 

 lichen Sinne grösseren bestehen; dann sind offenbar 1), 3), 5) erfüllt, und jedes A^'-Ele- 

 ment hat ein nächstfolgendes, aber diejenigen Elemente von deren sämmtliche 

 Elemente > 1 sind, bilden eine Menge, in welcher kein Element vorkonmit, welches 

 alle übrigen als Teilmengen enthält. 



Es bleibt übrig zu fragen, ob die lîedingung 2) doch nicht wenigstens in ir- 

 gend einer Weise reduzierbar sei. Aus nahe liegende Gründen (s. unten), empfiehlt 

 es sich, dieselbe durch die unten angegebenen 4 a) und b) zu ersetzen. Es geht 

 dann folgende Modifikation tier Dehnitionsform hervor: 



Es sei M eine gegebene Menge, und \mm bilde, wenn möglich, eine andere 

 Menge N in folgender Weise: 



1) M soll selbst Element in TV sein, und alle anderen iV-Elemente seien Teil- 

 mengen in M; 



2) Jedes iV-EIement E habe ein »nächstfolgendes» in dem Sinne, dass i*' aus 

 E durch Wegnahnnie eines darin eingehenden M-Elementes (des »ersten» El.) ent- 

 steht ; 



