über die finite und die translinite mathematische Induktion 



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Vorschriften treffen dennocli zu. Wir fügen dalier von vornlierein die fernere Be- 

 stimmung hinzu, dass alle iVEIeniente — von M selbst abgesehen — Teihnengen 

 in M sein sollen. Es ist weiterhin offenlmr, dass wenn innner H Teilmenge von 

 K oder umgekehrt sein soll, folgendes notwendig gelten inuss: wenn E und 

 zwei verschiedene iV-Elemente mit den nächstfolgenden F and sind, sollen E—F 

 und E^ — F^ niemals gemeinsame Elemente haben können; d. h. so viel als: ein 

 Element soll nicht mehr als bei einem iV-Elomente zu denjenigen gehören kömien, 

 welche beim Ubergange zum nächstfolgenden wegfallen (vgl. Punkt 4 a) der letzten 

 der obigen Definitionsformen). Auch diese Bedingung fügen wir also hinzu ; dass 

 sie nicht aus den übrigen folgt, konstatiert man leicht. 



Die Frage wird nun, ob von zwei iV^-Elementen wirklich immer das eine Teil- 

 menge des anderen sei. In Bezug hierauf kann zuerst folgendes bemerkt werden. 

 Es sei wieder E ein beliebiges iV-Elcmeiit. Wenn dann E nicht mit M zusammen- 

 fällt, so hat E als Teilmenge von M ein bestimmtes Komplement innerlinlb M, 

 von welchem wir ja annehmen können, dass es naehrere Elemente enthält, also eine 

 komplementäre Teilmenge KE ist. Man beti'achte nun alle iV-Elemente, welche 

 kein Element von KE enthalten. Zu diesen gehört erstens E, zweitens alter andere 

 iV- Elemente, in denen nicht imr die Elemente von KE, sondern auch andere 

 ilf-Elemente fehlen. Diese iV-Elemente sind notwendig Teilmengen von E, da E 

 alle Jf-Elemente enthält, welclie nichl zu KE gehöi'en. v\ber die übrigen iNT-Ele- 

 mente, also diejenigen, welche mit KE ii-gend ein Element gemeinsam haben? 

 Enthalten sie notwendig E als Teilmenge? Selbstverständlich gilt dies von ilf selbst, 

 da alle iV-Elemente Teilmengen von M sein sollten. Es gilt auch vom nächstfolgen- 

 den ^-Elemente (falls dies nicht mit E zusammentallt), da ilf, aus M durch Weg- 

 nahme von Elementen entsteht, welche nicht in E eingehen. Es gilt auch von dem 

 im Verhältnis zu il/^ nächstfolgenden, ^^und ,so weiter-'^ : unter den in Frage stehenden 

 iV-Elementen entsteht jedes — könnte man sagen wollen — durch Wegnahme aus ilf 

 von Elementen, welche nicht zu E gehören, und sie sind also alle IMengen, in denen 

 E Teilmenge ist. Diese Art zu räsonieren ist aber offenbar niclit streng Einen 

 strengen Beweis könnte man etwa durch hiduktion erhalten — wenn hierzu incht 

 die notwendige Grundlage noch fehlte. Andererseits wage ich die Behaupttmg, 

 dass man auch ohne Einführung von weiteren Bestimmungen als die jetzt einge- 

 führten festhalten muss, dass jedes iV-Element, in welchem irgend ein Element von 

 KE eingeht, E als Teilmenge enthält. Man muss es glauben, ohne es beweisen 

 zu köimen. Und der Grund der Unbeweisbarkeit ist nicht schwer zu finden. Mit 

 der Definition der ganzen Zahlen sei es so oder so. Jedenfalls kann man die klei- 

 neren Zahlen ohne Anwendung irgend einer Induktion definieren: eine Menge hat 

 2wei Elemente, wenn sie keine (eigentliche) Teilmengen besitzt; drei Elemente, wenn 

 jede Teilmenge nur zwei Elemente hat; vier Elemente, wenn die Teilmengen zwei- 

 oder dreielementig sinil ; fünf Elemente, wenn die Teilmengen entweder zwei, drei 

 oder vier Elemente haben. Machen wir z. B. hier halt (obgleich wir fortsetzen 

 könnten). Hat man nun in dieser W^eise die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 bestimmt, so 



