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T. Brodén 



hat man daduicli auch einen bestimmten Begriiï von den 5 ersten Elementen in 

 iV; ikfj, il/o' -^3' ^^i- Söl)ald nun ~E nicht mit einer dieser Mengen zusammen- 

 fällt, so beweist man succesaiv (s. oben), also für jede dieser 5 Mengen für sich, 

 dass E als Teilmenge eingeht. Aber die verlangte AUgemeiugültigkeit ist nicht zu 

 erreiclien, aus dem einfachen Grunde, dass menschliches Denkvermögen auf Schluss- 

 folgeruiigen mit einer endlichen Anzahl von Gliedern beschränkt ist, und überdies 

 auf dem abstrakten Boden, um den es sich jetzt handelt, auch das Beherrschen 

 einer »beliebig grossen» Anzahl von Fällen für uns unerreichbar ist (näheres hierüber 

 unten). Was man sich denken könnte, dass ein »überendlicher Verstand» durch 

 Schlussfolgerung gewinnen könnte, müssen wir mit unserem beschränkten Denk- 

 vermögen als unbeweisbares Denkgesetz aimehmen. 



Freilich kann man ja hierbei einwenden wollen: es wäre doch vielleicht mög- 

 lich, ein Mengensystem darzustellen, welches den in Frage stehenden Bestinunungen 

 Genüge leistete, bei dem aber von zwei iV-Klementen nicht immer das eine Teilmenge 

 des anderen wäre. Hierauf ist aber zu antworten, dass, wie vorsichtig man auch sein 

 soll, wenn es sich um Proklamieren von nicht streng bewiesenen »Unmöglichkeiten» 

 handelt, es doch eine ganz besondere Sache ist, wenn man es mit den abstraktesten 

 Prinzipien zu tun hat. Die äussei'sten Grundsätze, wie z. B. die gleich oben berührte 

 erste Aristotelische Schlussweise, können überhaupt nicht bewiesen werden. Und es 

 ist ferner sehr natiirlirh, wenn gewisse unentbehrliche Fundamentalsätze jedenfalls 

 für einen »endlichen» Verstand unbeweisbar sind. Vielmehr wäre gerade der Gegen- 

 teil sehr merkwürdig. Es muss doch irgend eine Brücke vom Endlichen zum 

 Unendlichen führen. Und für ein endliches Denkvermögen ist hierbei eine Reihe 

 von Syllogismen nicht anwendbar. Man nuiss die reine Intuition zugreifen, und 

 mit einem gewissen Grade von Wahrscheinlichkeit zufrieden sein. Und es ist doch 

 jedenfalls im höchsten Grade »wahrscheinlich», dass bei der angegebenen Bildung 

 von Teilmengen der gegebenen Menge ilf, jede Teilmenge, welche eine andere nicht 

 als Teilmenge enthält, statt dessen selbst als Teilmenge darin eingehen muss. 



Wir haben aber bisher nur eine zur Sache gehörende Frage berührt. Es giebt 

 auch eine andere. Zu den vorher festgestellten Bestimmungen fügen wir noch die 

 folgende hinzu: unter denjenigen iV-Elementen, welche gewisse bestimmte ilf-Ele- 

 mente nicht enthalten, giebt es eines, welches alle übrigen als Teilmengen enthält 

 (vgl. Punkt 4 b) der letzten der obigen Defiuitionsformen). Folgt daini hieraus, dass 

 es ganz allgemein gilt, dass in jeder Teilmenge von N ein gewisses Element 

 vorkommt, welches die übrigen als Teilmengen uinfasst? Es ist leicht zu fin- 

 den, dass dies sich beweisen lässt, wenn man das gleich oben genannte Axiom 

 voraussetzt. Man betrachte nämlich eine ganz beliebige Menge A von iV-Ele- 

 menten. Wenn zu den Elementen dieser Menge die ganze Menge M selbst 

 gehört, so enthält ja dies Element alle übrigen, da von vornherein angenom- 

 men wurde, dass alle von M verschiedenen Zf-Elemente Teilmengen in M sein 

 sollten. Von diesem Falle können wir also absehen. Dies gesetzt, mass es über- 

 haupt i¥-Elemente geben, welche in keinem ^.-Elemente eingehen (oder doch jeden- 



