über die finite und die transfinite mathematisclie Indniîtion 



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falls ein solches Element). Das iY-Elemeut M^, welches im Verhältnis zu il7 nächst- 

 folgend ist, entsteht aus M durch Wegnahme gewisser Elemente, welche die 

 Komplementärmenge 707^ von heisst (wir können hier der Bequemlichkeit 



wiegen den Namen Komplementärmenge henutzen, auch wenn diese »Menge» aus 

 einem einzigen Elemente hesteht). Zufolge des angedeuteten Axioms gilt es ja, 

 dass jedes JV^-Element, welches überhaupt ein Element von 707^ enthält, dje Menge 

 717^ als Teilmenge umfasst, und andererseits dass jedes iV-Element, welches kein 

 Element von K3I^ enthält und nicht mit zusammenfällt, Teilmenge von il7j 

 ist. Da es ferner, zufolge der Annalmien, kein iV^Element giebt, welches (in 

 M Teilmenge ist und) als Teihnenge umfasst, so folgt: die ganze Menge 



N besteht aus 1) 37, 2) M^, 3) Teilmengen von 717^. Wenn nun il7 nicht in 

 A eingeht, was ja angenonunen wurde, besteht also A aus lauter Teilmengen von 

 und überdies eventuell 717^ selbst. Folglich geht kein Element von 707^ in 

 irgend einem Element von A ein. Also: wenn A irgend eine Teilraege von N be- 

 deutet, w^elclie das Element j17 nicht enthält, so giebt es jedenfalls Elemente von il7, 

 welche in keinem Elemente von A eingehen, nämlich die Elemente von KM^ und 

 eventuell auch andere, sagen wir kurz die Elemente einer Menge T cTeilmenge von 

 Jlf, Komplementärmenge zur »Summe der Elemente» von A). Es sei nun B die 

 Menge aller JV-Elemente, welclie kein Element von T enthalten. Nach der gemachten 

 Annahme giebt es in B ein Element in welchem alle übrigen als Teilmengen 

 eingehen. Wenn wir zeigen können, dass diese Menge E auch in ^4 als Element 

 eingeht, so haben wir dadurch bewiesen, was zu beweisen war. Und das kann in 

 folgender Weise geschehen. Die Menge B enthält E und alle A^-Elemente, welche 

 Teilmengen in E sind; somit auch das in A'' nächstfolgende Element F. Diese 

 Menge F entsteht aus E durch Wegnahme gewisser Elemente, welche nach üblicher 

 Bezeichnung eine Menge E — F bilden (Kompl. -Menge von F innerhallt E). Nun 

 folgt es aus unserem Axiome, dass jedes jß-Element, welches überhaupt irgend ein 

 Element von E — 7^ enthält, F als Teilmenge umfasst, und dass andererseits jedes 

 i?-Element, welches kein Element von E — F enthält (und somit auch kein Element 

 der Menge T-\-E — F, welches Komplement von F innnerhalb 31 ist) in F als Teil- 

 menge eingeht oder mit F zusammenfällt. Da es ferner nach der Definition der 

 Menge A^ gilt, dass kein A^-Element, und somit kein j5-Element Teilmenge in E 

 ist und zugleich F als Teilmenge hat, so folgt: die Menge B besteht aus 1) E, 

 2) F, 3) Teilmengen von 7' (ganz wie A'^ aus M, 717^ und Teilmengen von 717^). Nun 

 war die Menge A Teilmenge von B. Also: wenn wir annehmen, dass E nicht in 

 A eingeht, so besteht .4 entweder aus 7^ und Teilmengen von oder aus lauter Teil- 

 mengen von 7^. hl beiden Fällen ist kein Element von E — 7^ inliegend einem yl-Ele- 

 mente enthalten. Also gehören die Elemente von E — F zur Menge T. Da nun B die 

 Gesammtheit aller A^-Elemente, in denen kein Element von T eingeht, sein sollte, so 

 geht auch kein Element von E — 7' in irgend einem 7?-Elemente ein; dies gilt somit auch 

 für das 7?-Element E. Aber andererseits ist E — F natürlich Teilmenge von E. Also 

 erhalten wir gleichzeitig, dass kein Element von E—F, und dass jedes Elenient von 



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