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T. Brodén 



E — F zur Menge E gehört. Dieser Widerspruch zeigt die Ungereimtlieit der Annalime, 

 dass E nicht zur Menge A gehören sollte. Aber E enthält als Teilmengen alle anderen 

 I? Elemente. Und A ist Teilmenge von B. Also enthält das J^-Element E alle 

 anderen J.-Elemente als Teilmengen. A war aber eine ganz beliebige Teilmenge 

 von N. Also gilt es, dass in jeder Teilmenge von N ein Element vorhanden ist, 

 welches alle übrigen als Teilmengen umfasst, w. z. b. w. 



Die obige Entwicklung zusammenfassend, stellen wir also folgendes Axiom 

 und folgendes Theorem auf. 



Axiom. Es sei M eine Metige von Dinijen, und man hihle eine andere Menge 

 N in solcher Weise, dass 1) M seihst als Element in N eingeht, während die übrigen 

 N-Elemente Teilmengen in M sind; 2) tvenn E ein beliebiges Element in N bedeutet, ein 

 anderes Element (das y>näehstfolgende^>) vorkommt, ?velches Teilmenge von E ist, toährend 

 keine andere Teilmenge von E, ivelche ebenfalls F als Teilmenge enthält, als Element 

 in N eingeht {kein N-Element »zwischen» E und F liegt); 3) Icein M-Eleinent für zwei 

 verschiedene E zu denjenigen iiören kann, ivelche beim Übergänge zu F ivegfallen. 

 Bann ist von zwei beliebigen N-Elementen immer das eine Teilmenge des anderen. 



Und dieser Satz ist als Axiom im strengsten Sinne, als unvermeidliches Denk- 

 gesetz aufzufassen, nicht als eine Annahme, welche man nach Belieben stehen oder 

 fallen lassen kann. Aber dies Axiom ist mit der schon hervorgehobenen Eigen- 

 thümlichkeit behaftet, innerhalb gewisser Grenzen beweisbar zu sein: die Richtig- 

 keit des Satzes kann man für eine endliche und hinreichend kleine Anzahl von 

 A^-Elementen succesiv darlegen, ohne dass eine bestimmte Grenze für die Anwend- 

 barkeit dieses Verfahi-ens angebbar ist. 



Plierbei kann noch bemerkt werden, dass der Satz noch gilt, w'enn man den- 

 selben so modifiziert, dass es ein i\r-Element giebt, welches kein nächstfolgendes 

 hat, was natürlich notwendig stattündet, wenn N eine endliche Menge ist. Wenn 

 dann die Anzahl der iV-Elemente hinreichend klein ist, lässt sich die Gültigkeit des 

 Satzes durch succesives Verfahren vollständig darlegen. Aber eben so wenig wie 

 dies bei unendlich vielen iV-Elementen durchfürhrbar ist, eben so wenig ist es bei 

 einer »beliebigen» endlichen Menge N möglich. Man kann, mit anderen Worten, 

 nicht beweisen, dass die Sache bei jeder endlichen A-Menge gilt. ' 



Theorem. Wenn man zu den Voraussetzungen des Axioms noch diejenige hin- 

 zufügt, dass in der Menge aller N-Elemente, welche geivisse M-Elemente nicht enthcdten, 

 immer ein Element vorkommt, welches die übrigen als Teilmengen umfasst, so hat jede 

 Teilmenge von N diese Eigenschaft (und man kann das Element, in welchem die 

 übrigen Teilmengen sind, das erste Element der betrachteten Teilmenge von N 

 nennen). 



' In meinem Buche »Om begreppens dialektiska upprinnelse» (Lund 1915) wurde das obige 

 Axiom nicht als solclies hervorgehoben. Man vergleiche die Darstellung S. 56 — 57, welche ich 

 hiermit als nicht stichhaltig zurücknehmen will. 



