über die finite und die tiansfinite mathematische Induktion 



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Der Beweis wurde oben gegeben. — Auch hier ist dieselbe Modifikation in 

 den Voraussetzungen wie beim Axiome möglich (s. gleich oben). 



Dass die hinzugefügte Bedingung nicht aus den vorigen folgt, ist leiclit durch 

 Beispiele zu zeigen. 



Wir kehren jetzt zur Definitionsform S, 5 zurück. Mittels der Punkte 1), 2), 

 4) sind hier die Voraussetzungen des Axioms und des Theorems realiziort, u. zw. 

 in der speciellen Form, dass ein A^-Ek'inent und das nächstfolgende sich nur um 

 ein Jf-Eleraent unteischeiden. Also giebt es in einer beliebigen Teilmenge von N 

 ein erstes Element, (welches die übrigen als Teilmengen enthält). Und wenn man 

 in oben angegebener Weise zu den ilf-Elementen übergeht, so folgt aus diesem 

 Umstände im Verein mit den übrigen in der Definition eingehenden Bestimmungen, 

 dass jede Teilmenge von M ein erstes Element hat (s. oben S. 4). Und dies führt 

 wiederum auf die Möglichkeit, die Zulässigkeit der finiten Induktion darzulegen. 



Das Prinzip dieser Induktion lässt sich bekanntlich folgendermassen formulie- 

 ren: wenn eine Menge A aus Elementen von M zusammengesetzt ist; wenn das 

 erste Element von M zu A gehört; und wenn es überdies gilt, dass sobald ein 

 gewisses .^/-Element in A eingeht, auch das nächstfolgende zu A gehört; dann ist 

 A nichts anderes als die ganze Menge M. Und der Beweis für die Richtigkeit 

 hiervon ist einfach der folgende: man nehme an, dass nicht alle ilf-Elemente zu 

 A gehörten, und B bedeute- die Menge aller ilf Elemente, welche nicht in A ein- 

 gehen; dann hat B zufolge der Annahmen über M ein erstes Element e\ alle vor- 

 angehenden ilf-Elemente gehören zu A, also speziell das nächstvorangehende F; 

 zufolge den Voraussetzungen ist dann auch das im Verhältnis zu F nächstfolgende, 

 d. h. e ein yl-Element; es wurde aber angenommen, dass e nicht zu A gehörte. 

 Dieser Widerspruch zeigt die Richtigkeit des Prinzips. 



Die Bedeutung des Induktionsverfahrens als Beiveismethode ist hinreichend 

 bekannt. Jedenfalls werden wir hier alle Auslegungen über diesen Gegenstand bei 

 Seite lassen. Dagegen werden wir uns ein wenig mit Fragen über Definition mittels 

 Indulition beschäftigen. 



Will man eine Menge durch finite Induktion definieren, muss man in letzter 

 Hand von einer Menge ausgehen, welche ohne Induktion definiert ist, und daran 

 in irgend einer Weise die induktionsmässige Definition der neuen Menge anknüpfen. 

 Diese Definition soll dann folgendes enthalten: ein gewisses Element e der zu defi- 

 nierenden Menge M ist in irgend einer W^eise direkt zu bestimmen; und ferner 

 soll eine gewisse Vorschrift gegeben werden, nach welcher, sobald ein Element als 

 definiert vorausgesetzt wird, ein anderes — das »nächstfolgende» — auch bestimmt 

 ist. ' Dass andererseits dies nicht hinreicht, um eine bestimmte Menge zu geben, 

 ist ja offenbar: es ist eben so wenig hinreichend, wie es für die Herstellung einer 



' Man könnte ja auch mehrere Elemente als direkt gegeben voraussetzen (vgl. etwa die 

 rekurrierenden Reihen); von dieser Erweiterung sehen wir aber hier ab. 



