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T. Brodén 



eiufaeheu Reibe liiiireicht, dass mau ein erstes Eleiueut und zu jedem Elemente 

 ein nächstfolgendes liat. Und es reicht auch nicht ihn, wenn man liinzufügt, dass 

 jedes Element mit Ausnahme für e ein »nächstvorangehendes» haben soU. 



Vor allem ist nun aber hier zu bemerken: unter allen denkbaren mit dem 

 erwähnten Definitionsansatz verträgliehen Bestimmungen der Menge iii giebt es 

 eine und nur eine, durch welche il/ nicht nur als Menge eindeutig definiert, sondern 

 audi in einfache Reihe geordnet wird. Dies lässt sich in folgender Weise einsehen. 

 Man ergänze den Definitionsansatz durch folgende Bestimmungen: man nehme eine 

 beliebige abzählbar-unendliche und eiufacli geordnete Menge A\ 2) dem ersten 

 Elemente von A ordne man das direkt definierte ilf-Elemenle zu; 3) mit den übri- 

 gen ^l-Elementen verbinde man JY-Elemente nach der Regel, dass wenn ein JZ-Ele- 

 ment zu einem gewissen ^.-Element gehört, das in M nächstfolgende zu dem in A 

 nächstfolgenden gehören soll. Dann wird jedes Element in A mit einem bestimmten 

 Jf-Element verbunden. Dies lässt sich durch Induktion zeigen: in der einfach ge- 

 ordneten Menge A liât das erste Element e ein bestimmtes entsprechendes .M-Ele- 

 ment, und wenn dasselbe für ii'gend ein anderes Element in A gilt^ so gilt es auch 

 für das nächstfolgende; also hat nach dem Induktionsprinzipe jedes M-Element sein 

 bestimmtes (durch die gegebenen Vorschriften eindeutig bestimmtes) ^.-Element. Es 

 ist somit nicht nur die Menge M eindeutig definiert, sondern auch eine bestimmte 

 einfache Anordnung ilirer Elemente gegeben. Hierbei muss jedoch bemerkt werden, 

 dass während wir vorher von einer als gegeben vorausgesetzten Menge ausgingen, 

 deren Elemente einfach geordnet waren, ohne dass irgend ein Element auf mehr 

 als eine Stelle auftreten sollte, so hat mau jetzt, wo es sich um die Definition einer 

 Menge handelt, keine Sicherheit für solche Eventualitäten : was man erhält ist, präzis 

 ausgesprochen, eine Menge und die Beleijunij einer einfach geordneten Menge mit 

 derselben. Aber die definierte Menge als solche kann unter Umständen sogar end- 

 lieh sein. Ein extremer und trivialer Fall ist es hierbei, dass jedes Element der Hilfs- 

 menge mit demselben Gegensstande belegt wird, und also die definierte »Menge» 

 keine eigentliche Menge ist, sondern sich auf ein einziges Element reduziert. 



Bewusst oder unbewusst denkt man sich wohl immer, wenn es sich um Defi- 

 nition mittels finiter hiduktion handelt, dass die Sache in der jetzt angegebenen 

 Weise eingerichtet werden soll. Und mit besonderer Vorliebe benutzt man als Hilfs- 

 menge die Menge der »ganzen positiven Zahlen» — welche ja auch oft (und früher 

 wohl immer) bei der Fornuilierung des Induktionsprinzips figuriert, indem mau das 

 Prinzip so ausdrückt: wenn ein gewisser von der Zahl n abhängiger Satz für 

 n — \ richtig ist, und wenn die Gültigkeit für « -j- 1 aus der Gültigkeit für n folgt, 

 so gilt der Satz für alle n. 



Wie verhält es sich nun aber eigentlich mit der Definition der ganzen Zahlen 

 selbst? Können sie ihrerseits ohne Induktion definiert werden? 



Wir gehen zuerst von der Auffassung aus, dass die ganzen Zahlen Symbole 

 sind, welche sich an endliche Mengen anschliessen und dies in solcher Weise, dass 



