Ober die finite und die transfinite matliematisclie Indiiiîtion 



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äquivalente Mengen (Mengen von »gleicher Anzahl») mit denselben Symbolen ver- 

 bunden sind. Aber die Zahlsymbole sehen in versciiiedenen »Zahlsystemen» ver- 

 schieden aus. Das theoretisch einfachste ist das Dualsystem. Die Definition der 

 Dualzahlen kann in folgender Weise angegeben werden. Man nehme eine einfach 

 geordnete Reihe S, etwa ein System äqudistanter Punkte auf einer geraden Linie, 

 mit dem ersten Punkte rechts von den übrigen. Nun sei E eine beliebig gegebene 

 endliche Menge von Dingen. Zu dieser Menge knüpfe man eine Beler/imr/ des S>/- 

 stems 8 mit Ntdlen und Einsen, nach folgender Regel. Mit dem ersten Punkte der 

 Reihe A verbinde man in erster Hand die ganze Menge M und mit anderen Punk- 

 ten Teilmengen von ilf, welche so bestinnut sind, dass wenn ein gewisser Punkt 

 mit einer Menge T korrespondiert, zum nächstfolgenden Punkte eine Hälfte von 

 T gehören soll, wenn T eine gerade Menge ist, aber eine Hälfte der um ein Element 

 verminderten Menge T, falls T ungera,de ist; wobei es noch gelten soll, dass wenn 

 T aus nur zwei .1/- Elementen besteht, der nächstfolgende yi-Punkt mit dem einen 

 dieser Elemente (also mit keiner eigentlichen Teilmenge) korrespondiert während 

 alle nachher folgenden Punkte uubelegt bleiben sollen. Nachher ersetze man die 

 geraden Mengen, mit denen ^I-Punkte verbunden sind, durch das Symbol Null (0), und 

 die ungeraden (ein einziges Element als ungerade Menge aufgefasst) durch das 

 Symbol Eins (1). Durch Induktion folgt unmittelbar, dass die Reihe A oder doch 

 jedenfalls ein bestimmter Teil derselben in bestimmter Weise mit Symbolen 0 oder 

 1 belegt wird. Das es in der Tat immer eintrifft, dass nur eine endliche Menge 

 von ^.-Punkten (u, zw. alle, welche einem gewissen Punkte vorangehen) eine Bele- 

 gung erhalten, ist ein leichtes zu zeigen, und der Beweis hierfür wird uns nicht 

 beschäftigen. — \\\ ähnlicher, wenn auch nicht ganz so einfacher Weise lassen sich 

 die Zahlen anderer Systeme (Dezimalzahlen etc.) definieren. 



Wenn man nun die Zahlen als etwas anderes als lauter Symbole auffassen 

 will, so steht, so viel ich finden kann, nur die Möglichkeit offen, dass man — um 

 bei den Dualzahlen stehen zu bleiben — die oben l)eschriebenen Mengen von Teil- 

 mengen der gegebenen Menge als die zur Menge gehörende Zahl erklärt. Es han- 

 delt sich ja jetzt nicht um die Begriffe gleiche bez. grössere oder kleinere Anzahl, 

 sondern eben um die Bedeutung des Wortes Zahl oder des Ausdruckes Reihe der 

 ganzen Zahlen. Nun lässt es sich leicht zeigen, dass die Gesammtheit aller Dual- 

 zahlen, in der angegeben Art als Svmbole aufgefasst, in (1, l)-deutig"er Beziehung 

 zu den »Abschnitten» einer beliebigen einfachen Reihe gesetzt werden kann. Wenn 

 man aber mit Rücksicht hierauf sagen will, dass das wesentliche bei den Zahlen 

 darin besteht, dass sie sich in einfacher Reihe ordnen lassen, so kann dies ja 

 gewissermass richtig sein, aber hierin die Definition der Zahlenreihe zu sehen, geht 

 doch nicht an; dann würden die Zahlen nichts anderes werden als die Abschnitte 

 einer beliebigen einfachen Reihe, (sei es dass die Gilieder aus Punkten oder andern 

 Gegenständen bestehen). Aus ähnlichem Grunde scheint es nun in der Tat auch 

 nicht zweckmässig, in der gleich oben angedeuteten Weise, die Zahlen als Systeme 



