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T. Brodén 



von Teilmengen einer gegebenen Menge aufzufassen. Es bleibt somit nur übrig, 

 dieselben als Symbole aufzufassen 



Die Definition einer Menge mittels finiter Induktion setzt, wie ol)en festgestellt 

 wurde, voraus, dass man in letzter Hand von einer in einfacher Reihe geordneten 

 Menge ausgeht, welche ohne Induktion bestimmt worden ist. Aber natürlich hindert 

 nichts, dass man den induktionsmässigen Beweis in erster Hand an eme Menge 

 knüpft, welclie ihrerseits durch Induktion gewonnen ist. Daher ist man namentlich 

 durchaus berechtigt, die in der oben angegebenen Weise definierte Reihe der ganzen 

 Zahlen als Hilfsmenge anzuwenden. 



Alles kommt offenbar darauf an, ob es möglich sei den Begriff einer einfachen 

 Reihe ohne Induktion sn gewinnen. Sollte dies nicht möglich sein, so wäre es auch 

 unmöglich, irgend eine Menge durch Induktion zu definieren. Nun giebt ja unsere 

 dritte Definitionsform (S. 5) eine solche Reihe, u. zw. ohne Voraussetzung Undefi- 

 nierter Begriffe wie »nach» und »vor» etc. Hiermit wäre die Sache klar sein, wenn 

 man ohne weiteres sicher sein könnte, dass diese Definition keinen versteckten Wider- 

 spruch in sich schliesse. Da aber dies jedenfalls nicht ganz unmittelbar deutlich 

 ist, so entsieht nun in letzter Hand die Frage, wie man hierüber Gewässheit 

 erreichen soll. 



Wir kommen daher mit der allgemeinen Frage in Berührung, wie man die 

 Widerspruchsfreiheit einer Mengendefinition darlegen soll. Die Mengendefinitioneu 

 können von zwei verschiedenen Arten sein, nämlich kurz gesagt die dependenten 

 und die independenten. Jene knüpfen an eine schon gegebenen Menge an (und 

 bestimmen die neue Menge z. B. als Teilmenge derselben); bei diesen ist es nicht 

 so. Die jetzt in Frage stehende gehört ja der letzten Art, und wir brauchen somit 

 hier nur diese Art zu berücksichtigen, wenigstens in erster Hand. 



Bei Widersprüchen kann man verschiedene Arten unterscheiden. Ich habe 

 früher - geltend gemacht, dass sie jedenfalls in der abstrakten Mengenlehre (oder 

 bei »apriorischem Denken») im Grunde auf folgende Typen zurückführbar sind: 



1) Ein Gegenstand A ist zugleich Element in einer Menge M und nicht Ele- 

 ment in J/; * 



2) A hat Bestandteile und ist zugleich absolute Einheit (hat nicht Bestandteile); 

 ein dritter 1. c. angegebener Fall reduziert sich eigentlich auf 1). 



Wenn wir nun zunäclist ohne weiteres annehmen, dass es sich mit den Wider- 

 sprüchen W'irklich so verhält, und von diesem Gesichtspunkte aus eine einfach 

 geordnete Menge M betrachten, so ist folgendes zu sagen. Es sei e ein beliebiges 

 Jf-Eloment, und T eine beliebige Teilmenge von M. Diese Teilmenge hat ein erstes 

 Element a. Wenn nun e im Verhältnis zu ci vorangehend ist, so gehört e sicher 



1 Ich kenne keine andere Definition, welche ich als hinreichend scharf anerkennen kann. 

 Vgl. übrigens sOm begreppens dialektiska upprinnelse» (I^und 1915), S. 63 — 67. 

 Oni begreppens dialektiska upprinnelse, S. 45. 



^ Eigentlich sollte hier »Vielheit» statt »Menge» stehen (wie 1. c), da nach meiner Termi- 

 nologie Vielheit ein etwas allgemeinerer Begriiï ist als Menge. Dies spielt aber im jetzigen Zu- 

 sammenhange keine Rolle, 



