über die finite und die transfinite mathematische Induktion 



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nicht zu T. Wenn dagegen e mit a zusammenfällt, so ist e natürlich Element von 

 T. Ist aber e im Verhältnis zu a nachfolgend, so sind verschiedene Fälle zu unter- 

 scheiden. Die Menp"e T kann aus a und allen nachfolgenden bestehen; da e nach 

 a folgt, geht dann e in T ein. Wenn endlich T aus a und nur gewissen nach a 

 folgenden il/-Elementen besteht, so teilen sich die im Veiiiältnis zu a nachfolgenden 

 n zwei Mengen: die Elemente der einen gehören zu T, diejenigen der anderen 

 gehören nicht zu T. Oder anders ausgedrückt: in der Menge A, welche aus und 

 allen nach a folgenden ilf-Elementen besteht, ist T Teilmenge und hat ihr bestimm- 

 tes Komplement K — A— T. Nun geht p in A ein; also gehört e entweder zu T 

 oder zu K und somit entweder zu 2' oder nicht zu T. Es gilt also ausnahmlos, 

 dass e entweder Element von T ist, oder nicht. Es ist irgend eine Zweideutigkeit 

 ausgeschlossen, also auch jede Möglichkeit eines Widerspruchs, welcher darin beste- 

 hen sollte, dass ein Element in 31 zugleich Element und Nicht-Element einer Teil- 

 menge von M wäre. Ferner kaiui der Fall 2) hier nicht in Betracht kommen, da 

 die Definition gar keine Bestimmungen über die Natur der Elemente enthält. Also: 

 bleibt man bei jenen Dingen stehen, so ist kein Widerspruch denkbar. 



Aber ist hiermit die Sache geklärt? Wenigstens niclit ohne weiteres. Es 

 könnte ja sein, dass Widersprüche nicht ausgeschlossen wären, wenn man das Gebiet 

 erweiterte, also eine Menge betrachtete, zu deren auch andere Dinge als die Elemente 

 und die Teilmengen von 31 gehörten. Dies wird natürlich der Fall, wemi man 

 eine Menge hinzufügt, welche an sich widerspruchsvoll ist. Aber die Frage ist diese : 

 kann es eintreffen, wenn die Ei'weiterung durch Prozesse vermittelt wird, welche 

 an sich als legitim betrachtet werden müssen? Nun giebt es aber ein allgemeiner 

 Prinzip, welcher, so viel ich linden kann, als unerlässlich bezeichnet werden muss 

 und in folgender Weise formuliert werden kann : 



Wenn eine Meujie von absoluten Einheiten in solcher Weise definiert ist, dass die 

 Definition immer darüber /Dizive/deiitig entscheidet, ob ein gewisses Element zu einer 

 geivissen Teilmenge gehört, oder nicht, so ist die Definition legitim. Und dasselbe gilt, 

 wenn über die Natur der Elemente niclits vorausgesetzt wird. 



Der Vorbehalt hinsichtlich der Natur der Elemente ist hier sehr wesentlich. 

 Wenn die Elemente ihrerseits Mengen von irgend einer besonderen Beschaffenheit 

 sein sollen, so spielen auch die hierfür geltenden Bestimmungen eine Rolle. An- 

 dererseits könnte, wenn man den Vorbehalt beibehält, mögl icherweise weniger ver 

 ilangt werden. Dies geht uns aber jetzt wenigei" au. 



Zunächst werden wir nun die ITnerlässlichkeit des Prinzips durch ein drasti- 

 sches, extrem einfaches Beispiel beleuchten. Die Mengendefinition laute ganz ein- 

 fach: eine Menge 31 soll keine Teilmengen haben; was ja auch so ausgedrückt 

 werden kann, dass 31 nur zwei Elemente haben soll. Hier sind die angegebeneu 

 Legitimitätsbedingungen erfüllt; es wird nichts über die Natur der Elemente aus- 

 gesagt, und da es keine Teilmengen giebt, so gehört kein M-Element einer Teil- 

 menge. Wenn man nun trotzdem die Legitimität des Begritïes verneinen will, weil 

 diese oder jene Erweiterung auf Widersprüche führen könnte, so würde das ungefähr 



