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T. Biodén 



dasselbe bedeiiteD wie jede Möglichkeit eines Denkens abschneiden zu wollen; denn 

 ohne den Begrilï »zwei» kommt man nicht weit. 



Wie steht es nun aber mit der Möglichkeit, die Richtigkeit des Prinzips zu 

 beweisen? Um diese Frage beantworten zu können, muss man zuerst ein wenig 

 näher präzisieren, was unter die »Legitimität» zu verstehen ist Es kann in der 

 Tat nichts anderes bedeuten als dies: bei jeder Erweiterung der definierten Menge, 

 welche an sich als zulässig gelten muss, soll kein Widerspruch entstehen können. 

 Dann gilt es aber zu entscheiden, welchen Erweiterungen man jene Eigenschaft 

 zuschreiben soll. In Bezug hierauf liegt es nahe, in folgender Weise zu räsonieren. 

 Eine Menge M zu erweitern heisst: eine neue Menge P zu bilden, in welcher M 

 Teilmenge ist. Es lassen sich zwei Hauptarten von Erweiterungen unterscheiden: 

 erstens kann man etwas ganz neues hinzufügen; zweitens kann P in irgend einer 

 Weise aus il/ hergeleitet sein. In der erstgenannten Hinsicht muss es unbedingt 

 gelten, dass man berechtigt ist, zwei je legitime Mengen mit einander zu einer 

 neuen Menge zu verbinden. Was dagegen die aus M hergeleiteten Mengen betrifft, 

 ist zuerst zu bemerken dass zur Herleitung nicht eine Auflösung der Elemente von 

 ilf gehören kann, da eine solche zufolge der Annahmen ausgeschlossen ist. Ande- 

 rerseits muss jede Erweiterung, welche diirch lauter Verknüi)fungen vorher gegebe- 

 ner Mengen bez. absoluter Einheiten entstanden ist, zulässig sein, also z. B. die 

 Hinzufügung aller Mengen von Teilmengen von M etc. Und wenn mau die Defi- 

 nition der erweiterten Menge nicht ausschliesslich aus solchen Verknüpfungen 

 bestehen lässt, sondern ül)erdies diese oder jene Relationen zwischen den Elementen 

 vorschreibt, so beruht es ganz auf den Umständen, ob dadurch Widersprüche hin- 

 einkommen, oder nicht. Also, kurz gesagt: jede durch nackten Verknüpfungen 

 gewonnene Erweiterung ist an sich zulässig; wenn dabei ein Widerspruch erscheint, 

 so beruht dies somit auf den in der ilf-Definition eingehenden Relationen ; anderer- 

 seits kann man natürlich neue Relationen hinzufügen, welche Widersprüche hervor- 

 rufen, aber das geht uns hier nicht an. Die vorliegende Frage reduziert sich daher 

 auf die folgende: lässt es sich zeigen, dass bei Erweiterungen der genannten Art 

 keine Widersprüche enstehen können, sobald die in dem Prinzipe angegebenen 

 Bedingungen erfüllt sind? 



Es ist nicht zu verneinen, dass ein solches Räsonnement einen richtigen Finger- 

 zeig giebt. Aber hinreichend scharf ist es nicht. Und vor allem wichtig ist hier 

 eine nähere Analyse des Begriffes »durch Verknüpfungen gewonnene Erweiterung». 

 Auch wenn man annimmt, dass eine SKccesive (und also notwendig aus einer end- 

 lichen Anzahl von Schritten bestehende) Erweiterung scharf definiert und als legitim 

 erkannt worden ist, so kann man es nicht entgehen, auch eine induktionsmässig 

 definierte Erweiterung in Betracht zu ziehen (wobei auch die transfinite Induktion 

 nicht auszuschliessen ist). Die Legitimität einer solchen lässt sich sicher nachweisen, 

 sobald die Zulässigkeit des Induktionsverfahrens vorausgesetzt wird. Nun wünschen 

 wir ferner beweisen zu können, dass eine Erweiterung, sei sie succesiv oder induk- 

 tionsmässig, nicht zu Widersprüchen führen kann, wenn die Bedingungen des 



