über die finite und die transfinite mathematische Induktion 17 



äufgestellteu Prinzips erfüllt sind. Bei jedem bestinnnten suecessiven Prozesse lässi 

 sich wohl dies ziemlich leicht durchführen. Hat man die Erweiterung induktions- 

 massig definiert (was schon dann notwendig ist, wenn der Prozess endlich aber 

 »beliebig» viele Schritte enthält) so wollen wir voraussetzen, dass die Saclie auch 

 dann gelingt, wenn wiederum auch nur unter Anv/endung von Induktion. Gesetzt 

 nun, man habe den Beweis so absti'akt gestalten können, dass alle denkbaren Fälle 

 einbegriffen sind, so setzt doch dieser Beweis die Zulässigkeit des Indnktionsverfah- 

 rens voraus. Es entsteht also folgendes Dilemma: entweder muss man von der 

 Induktionsmethode abstehen, oder auch Erweiterungen durch Induktion zulassen. 

 Und wählt man das letztere (was doch das einzig mögliche ist), so wird es notwen- 

 dig, das oben ausgesprochene Prinzip (oder jedenfalls einen verwandten) als unbe- 

 weisbares Axiom vorauszusetzen — wenn man einen cir cuius vitiosus vermeiden will. 

 Denn der supponierte Beweis sollte die Zulässlichkeit der Induktion voraussetzen; 

 diese beruht ihrerseits auf der Widerspruchsfreiheit der einfachen Reihe (so aufge- 

 fasst, wie oben angezeigt wurde); und diese Widerspruchsfreiheit kann nicht ohne 

 Hilfe eines solchen Prinzips wie des in Frage stehenden bewiesen werden. Wir 

 sehen uns also mm nweiten Mal dazu genötigt, an die unmittelbare lufiiition unsere 

 Zuflucht zu nehmen. 



'Es könnten Bemerkungen verschiedener Art hier l)eigefügt werden. Und das 

 gesagte war natürlich nur eine Andeutung. Es sei auch daran erinnert, dass schon 

 der Ausgangspunkt des ganzen Räsonnements, nämlich die Annahme der zwei 

 Grundtypen von Widersprüchen hier ganz ohne Beweis eingeführt wurde. Die 

 vollständige Klarlegung aller dieser Verhältnisse erfordert eine durchgreifende Revi- 

 sion der logisch-mathematischen Prinzipien. Eben eine solche Revision wurde in 

 meinem obengenannten Buche »Om begreppens dialektiska upprinnelse» beabsich- 

 tigt. Aber es handelte sich darin vorzugsweise um eine naturgemässe Entwicklung 

 der grundlegenden Begriffe. An diese Begriffsentwicklung werde ich später ein 

 explizit formuliertes Axioniensysiem anknüpfen und damit ein realistisches Gegen- 

 stück zu RussELLS formalistischen logischen Prinzipien mit ihren c:a 10 Grundbe- 

 griffen und c:a 20 Grundsätzen geben. 



Bekanntlich ist in der letzteren Zeit die mathematische Induktion (und nament- 

 lich die finite) für ausführliclie Diskussionen Gegenstand gewesen. Es ist leicht zu 

 ersehen, in welchen Verhältnissen meine obigen Aussprüche zu verschiedenen von 

 anderen Seiten dargestellten Auffassungen stehen. Und ich werde hierüber nicht 

 weitläufig sein. 



PoiNCARE hat geltend gemacht, dass die Induktion ein intuitives Moment ent- 

 hält. Es kann wohl als eine Zuspitzung dieser Auffassung bezeichnet werden, als 

 ich es versucht habe, die Rolle der Intuition in zwei Axiomen zu fixieren. P. hat 

 ferner die induktive Schlussweise als spezifisch mathematisch bezeichnet. Hierzu 

 kann bemerkt werden, dass jedenfalls unser erstes Axiom (S. 10) im Grunde als 



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