II. Die transfinite Induktion. 



Jetzt modifizieren wir die Definition S. .5, 6 in der Weise, dass wir den Punkt 

 3) wegfallen lassen und somit iV Elemente gestatten, welche kein »nächstvorangelien- 

 des» haben. Diese Veränderung beeinfiusst nicht die Anwendbarkeit des Axioms 

 und des Theorems S. 10, da die Voraussetzungen dieser Sätze auch ohne die Gül- 

 tigkeit des Punktes 3) erfüllt sind. Dagegen ist die (1, l)-deutige Beziehung zwischen 

 den iV^-Elementen und den iZ-Elementen nicht länger unbedingt gültig: natürlich 

 hat jedes iV-Element sein erstes Element, aber es gilt nicht sicher umgekehrt, dass 

 jedes iV/- Element überhaupt als erstes Element in einer zu N gehörenden Menge 

 von Jf Eleraenten figuriert. Ein einfaches Beispiel reicht hin, um dies zu bezeugen. 



Die Menge M bestehe aus allen Zahlen der Form a -f " \ wo a gleich 1, 2 



oder 3 ist, und ii alle positive ganze Zahlenwerte annehmen kann ; man nehme 

 innerhalb M eine beliebige Zahl mit a = 1 oder 3 und verbinde mit derselben 

 alle grösseren zu M gehörenden Zahlen zu einer Menge; die Menge N bestehe aus 

 allen so erhaltenen Mengen von iJf-Elementen ; man ersieht sofort, dass in diesem 

 Falle alle Bedingungen der Definition S. 5, 6 erfüllt sind, mit Ausnahme für 3) 

 (das iV-Element, für dessen erstes Element a = 3, ii = 1 ist, hat kein nächstvoran- 

 gehendes); aber unter den itf-Zahlen mit a = 2 ist keine einzige erstes Element in 

 einer JV-Menge. Es ist also eine neue Bestimmung erforderlich, wenn die in Frage 

 stehende (1, l)-deutige Beziehung sicher bestehen soll. Am einfachsten können wir 

 dieselbe ohne weiteres so formulieren, dass jedes iV-Element erstes Element in einem N- 

 Elemente sein soll. Hat man aber diese Bestimmung eingeführt, so wird der Punkt 5) 

 überflüssig; wenn nämlich ein ilf-Eleinent r. erstes Element in einer iV-Menge ist, so gehört 

 e sicher nicht zum nächstfolgenden iV-Elemente; und also giebt es kein M-Eleinent, 

 welches in allen i\r-Elementen eingeht, wenn jedes Element von M als erstes Ele- 

 ment in einer iV^-Menge figuriert. Und die Definition erhält also folgende ein- 

 fache Form: 



Es sei M eine gegebene Menge, und man bilde (wenn möglich) eine andere 

 Menge N nach folgenden Vorschriften: 



1) M soll selbst Element in N sein, und alle anderen iS^-Elemente seien Teil- 

 mengen in M; 



