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T. Brodén 



2) Jedes iV-Element JE babe ein »näcbstfolgendes» F, in dem Sinne, dass F 

 aus E durcb Wegnabme eines darin eingebenden Jf-Elementes (des »ersten» Eiern.) 

 entsteht; 



3 a) Jedes ilf- Element ist erstes Element für ci)i] und nur ein iV-Element; 

 b) Unter denjenigen iV^-Elementen, welcbe gewisse Jf-Elemente nicbt entbalten, soll 

 es immer ein Element geben, für welcbes alle übrigen Teilmengen sind. 



Jetzt werden ganz wie vorher die bei den iV^-Elementen bestehenden Relationen 

 »nachfolgend», »vorangehend» und »erstes» auf die Elemente von M übertragen. 

 Und es gilt zufolge des Theorems S. 10, dass jede Teilmenge von M ein erstes 

 Element hat. Hierauf gründet sich das Prinzip der transfiniteii Induktion. Dasselbe 

 lautet bekanntlicli so: wenn eine IVIenge A aus -Elementen von J)f zusammengesetzt 

 ist, wenn das erste Element von J/ zu A gehört; und wemi es überdies gilt, dass 

 ein Jf-Element in A eingeht, sobald alle vorangehenden es tun; dann ist A nichts 

 anderes als die ganze Menge M. Der Beweis ist dsrajenigen für die finite Induk- 

 tion (vgl. oben S. 11) analog, obgleich noch einfacher. (Übrigens braucht man ja 

 bei den Elementen n:it einem nächstvorangehenden nur zu fordern, dass sie zu A 

 gehören sollen, falls dies für das nächstvorangehende gilt.) 



Die soeben aufgestellte Definition entspricht der allgemeinen Wohlordnimg, wie 

 die vorige der Wohlordnung ohne Limeselemente. Die Frage nach der Widerspruchs- 

 freiheit gestaltet sich ganz analog, wie in diesem Spezialfälle. Wenn man das S. 15 

 ausgesprochene Prinzip voraussetzt, so folgt die Widerspruchsfreiheit wörtlich wie 

 oben S. 14, lö. (Hiermit ist natürlich noch nicht gesagt, dass jede Menge wohl- 

 geordnet werden kann. Diese celebre Frage sei hier bei Seite gelassen.) 



Auch in Bezug auf die Definition durch Induktion wiederholen sich jetzt mu- 

 tatis mutandis die oben angegebenen Verhältnisse. Aber es kommt ein bedeutungs- 

 voller Umstand hinzu: für jene Definitionsweise wird eine Grenze dadurch gesetzt, 

 dass nur bei abzählbaren Mengen die Individualisierung aller Elemente mit endlichen 

 Mitteln erreichbar ist. Das es sich so verhält, lehrt nach meiner Auffassung die 

 sog. Richardsche Antinomie. Nun ist es ja für die Definition einer Menge durch- 

 aus nicht immer notwendig, dass man alle Elemente individualisiert; so lässt sich 

 z. B. das Linearcontinuum mittels einfacher Belegungsvorschriften definieren. Aber 

 eine Definition mittels Induktion geht, ihrer Natur nach, eben darauf hinaus, die 

 zu definierende Menge M durch Individualisierung der Elemente zu bestimmen. 

 Wenn also M nicht abzählbar .sein soll, so muss die Definition unvollständig, mit 

 irgend einen Unbestinnntheiten behaftet bleiben. Namentlich gilt dies schon bei 

 Mengen von der Mächtigkeit Aleph-Eins. Eine wohlgeordnete Menge A, welche, 

 ohne selbst abzählbar zu sein, lauter abzählbare Abschnitte hat, ist ein bestimmter 

 und nach unseren Festsetzungen widerspruchsh'eier Gedankengegenstand. Man kann 

 daran induktionsmässige Definitionen anknüpfen, ganz wie man die finite Induktion 

 an den abstrakten Begriff der einfachen Reihe knüpfen konnte. Wenn aber die 

 zu definierende Menge (I, ])deutig mit A korrespondieren soll, so reichen nicht 

 endliche Mittel aus; man erhält höchstens scheinbar eine vollständige Bestimmung 



