INTRODUCTION. 



§ 1. Le problème le i)lus important dans le calcul aux différences finies est 

 la résolution de l'équation 



(f(ir) étant une fonction donnée, co étant un nombre positif qui ne dépend pas de x. 

 Il va sans dire qu'on peut, sans diminuer la généralité, poser co = 1. Mais le lecteur 

 verra plus loin qu'il y a avantage à introduire le paramètre co. 



L'équation (1) admet une infinité de solutions. Soit F^{x) une d'entre elles, 

 toute autre solution est de la forme 



F(x) = F^ix) + 7r(xO, 



étant une fonction périodique ayant la période co. La présence de la fonction 

 arbitraire izix) a pour conséquence que la solution générale F{x) ne possède presque 

 aucune })ropriété remarquable. Mais en l'egardant ces solutions en nombre infini 

 on peut se rendre compte qu'il y en a, parmi elles, une seule qui se distingue 

 nettement des autres et c_[ui est pour ainsi dire la plus simple. Cette solution, que 

 j'appelle la solution principale, est déterminée à une constante additive près. C'est 

 la solution principale qui est réellement intéressante et il n'y a pas lieu de s'occuper 

 des autres solutions. 



Il y a un cas particulier où on peut trouver immédiatement cette solution. 

 En effet, la série 



00 



— CO^ï(,T + ^CO), (2) 



s=ü 



si elle converge, représente la solution })rincipale. Mais cette définition est trop 

 restreinte pour pouvoir servir à notre but. Il faut donc qu'on impose à F{x) une 

 condition supplémentaire qui permette de caractériser cette solution. 



Comment cboisir cette condition? Nous allons donner plus loin une réponse 

 très simple à cette question, qui se dégage naturellement de nos recberches,- mais 

 on peut dire que c'est là la plus grande difficulté de notre i)roblème. 



Si Ton se propose seulement de trouver une solution de l'équation (1) qui soit 

 continue, si '^{x) est continue, ou une solution qui soit analytique, si '^{x) est ana- 



