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N. E. Nörlund 



lytique, on peut dire qu'il n'y a pas de problème. Une telle solution se trouve en 

 effet iininédiatement en choisissant F{x) convenablement dans un intervalle de 

 longueur oj ou dans une bande limitée par deux droites 9î(j:) = a et 9î(x) = a -|- w, 

 et ce choix ne présente pas la moindre difficulté. Mais on arrive ainsi, en général, 

 à une solution qui est dépourvue d'intéiêt. 



Plusieurs géomètres se sont occupés de l'équation (1). Nous mentionnerons 

 surtout les recherches de MM. Guichard \ Appell ^, Hurwitz ^ et CarmichXel*. 



Les méthodes dont se servent ces auteurs pour résoudre l'équation (1) sont 

 assez intéressantes mais elles soufi'rent d'un griive inconvenient. Elles ne conduisent 

 point à la solution principale par ce qu'on introduit certaines fonctions périodiques 

 arbitraires qui sont étrangères à notre problème et dont il faut se débarrasser. 



Oe cpii iiiq)orte avant tout autre chose c'est de trouver uu algorithme qui per- 

 mette de calculer une solution ne contenant pas de fonction arbitraire et qui ne 

 soit pas lié à une certaine représentation analyticjfue de la fonction cp(.x). Un peu 

 de réflexion suffit maintenant pour se convaincre que la série (2) est la seule chose 

 C[u'on puisse jircndre })unr point de départ si l'on veut arriver à ce but. 



Introduisons [)our abréger le symbole 



M- 



^ 'f (?) J^^ ^ to(ff((i) -f- 'f{a + w) + . . . + + >uo)), a ^ tm < \i. <^a ^ {h -J- 1)w, 



a 



et considérons l'expression 



rt .r 



Si la série (2) diverge il arrive que cette expression tende vers une liinite quand [j. 

 tend vers l'intini. C'est par exemple le cas si 'f{z)==-. On vérifie immédiatement que 



h\x) = \nn\U{z)clz-S\{^^)^A (3) 



représente une solution de l'éciuation (1), a étant un nombre c^ui ne dépend pas de x. 



Depuis les recherches de Cesàro et de MM. Borel, Miïtag-Lefpler, Hardy, 

 Harald Bohr et Marcel Riesz on sait qu'on peut c^uelque fois attribuer un sens 

 , à une série, même si elle diverge. Il i)araît donc naturel d'essayer de tirer profit 

 de cette idée en appliquant tme même méthode de somm,ation à l'intégrale 



00 



^ '£{s) ds 



' Annales scientifiques de l'École normale supérieure (3) t. 4 (1887) p. 361 — 380. 



Journal de mathématiques pures et appliquées (4) t. 7 (1891) p. 157 — 219. 

 ' Acta mathematica t. 20 (,1897) p. 285—312. 

 ^ American Journal of Matliematics t. 35 (1913) p. 163—182. 



