Sur le calcul aux ilifféreiicee finies ^ 



et à la séi'ie 



CO 



V + o). 



.s=0 



J'arrive ainsi à rexjiression suivante 



f> étant une Fonction admettant une dérivée par rapport à z qui est continue et 

 négative i)our les valeurs de 2 Cjui entrent en considération. Supposons en outre que 



. lini [j{s, — U, 



lnni^^£i^=l, 



et ^2 étant deux nonilires tixes. 



Nous allons voii que la limite (4), si elle existe, représente une solution de 

 l'équation (1). Si la limile (3) existe, la limite (4) existe ft /orf'wr/ et les <l(Uix limites 

 représentent une même solution. iVIais la limite (4) existe dans des cas beaucoup 

 plus étendus fpie ne le fait la limite (3). 



Nous allons im})oser à [> certaines conditions tnd permettent d'affirmer que Ja 

 limite (4) ne dépend pas de p. On peut choisir p d'une infinité de manières sans 

 altérer la limite. L'expression (4) définit donc une solution unique que j'appelle 

 la solution principale. J'introduis [)our désigner cette solution un signe nouveau en 

 posant 



S'^(-) Jo/ = lin> ! L.) dz - V ^ . (5) 



Nous allons démontrer dans le paragraphe 7 que cette solution possède la pro|)i'iété 

 remarquable de tendre vers vme limite quand co tend vers zéro d'une certaine ma- 

 nière. On a en efïet 



\^^ul',{^)A^,^ = \^{^)dz. 

 On peut encore arriver à la solution principale à l'aide d'une expression de la forme 



Nous allons voir dans le paragraphe 6 c^u'on sait imposer à a(,?) certaines conditions 

 qui permettent d'affirmer cjue cette lim' te ne dépend pas de et qu'elle représente 

 une solution de l'équation (1). Cette solution est la même que (ô) si les deux limites 

 existent. Le point essentiel c'est que nous considérons à la fois une série et une 



