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N, E. Nöilnnd 



intégrale. Si, dans les expressions (5) ou (6), on supprime l'intégrale ces limites 

 cesseront d'exister même dans les cas les plus simples. Par exemple, si (f(^) = 1, 

 notre série se réduit à 



1 + 1 +1 + 1 + .,. 

 et cette série n'est jamais sommable. Mais à l'aide de (5) ou de (6) on trouve 



X 



a 



J'arrive maintenant à la définition de la solution principale. Les expressions (5) et 

 (6) permettent de calculer cette solution et on pouvait prendre ces expressions comme 

 définition, mais on peut indiquer une autre définition qui paraît préférable. 



Si la limite (5) (ou (6)) existe, p (ou a) étant convenablement choisie, je dis 

 que est sommaUe avec la fonction soinmatrice p (ou a). Supposons que tp(^f) 



soit sommable. Comme je l'ai déjà fait remarquer la solution générale de l'équa- 

 tion (1) est de la forme 



X 



a 



n[x) étant une fonction périodique avec la période eu. La condition nécessaire et 

 suffisante pour que F{x) soit sommable c'est que 7r(a") se réduise à une constante. 

 On peut donc définir la solution principale 



X 



comme la solution sommable de l'équation (1). Elle est ainsi déterminée à une 

 constante additive près, et elle est entièrement fixée si l'on donne à la constante a 

 une valeur déterminée. 



Dans les pages suivantes je ne considère que des variables réelles Mais on 

 peut aisément étendre les résultats obtenus à des fonctions de variables complexes. 



Dans les paragraphes 2 — 6 j'indiciue diverses hypothèses qu'on peut faire 

 relativement aux fonctions p et a. 



La solution principale est une fonction qui dépend de x et de o>, soit F{x, w). 



Dans le paragraphe 7 je démontre que cette fonction possède la propriété 

 remarquable de satisfaire à la relation 



F{x, 0.) + f(^x + ^ , + . . . + fI^x + CO, 0. j = n f(^x , ^ j , 



n étant un entier positif quelconque. 



Dans le paragraphe 8 je démontre que la formule sommatoire d'Euler conduit 

 à un développement qui est asymptotique à la fois en x et en lo. 



' Cette Note est un extrait d'un Mémoire étendu que je vais publier sous peu. 



