Sur la sommation d'une fonction. 



§ 2. Soit a un nombre fixe. Soit p{e, \).) une fonction qui possède les pro- 

 priétés suivantes: 



1" elle admet, si a<^0< [j-, des dérivées continues du premier ordre telles que 

 2'' l'intégrale 



dz 



converge uniformément par rapport à z, 

 3" ou a 



lim p(^, [j.) = Ü, (7) 

 H„.Mî^ = l, (8) 



quels que soient z^ et 2^ a). 



Soit (f(^) une fonction qui est bornée et intégrable sur l'intervalle a < z < \j. 

 quelque grand que soit \f.. 



Théorème 1. Dam cefi conditions on a ' 



H h 'M - 1 ^ 'A -.'"ï ! î^w"-- S'f'^' ^ ■ 



il •' a ■' 



si la limite au second membre existe. 



En effet, en intégrant par ])artie, on trouve 



p. \y z ■ 



jf(z) [J.) dz = — fp'(0, [J.) jf{f) dt dz, 

 a a a 



p' étant la dérivée de p par rapport à z. 



' Dans la démonstration de ce théorème on fait seidement usage de la condition 3° et d'une 

 partie de la condition 1°. Les antres conditions ont été introduites à canae îles théorèmes suivants. 



