Sur le calcul aux différences finies 



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X 



elle définit donc une fonction qui ne dépend que de la différence [j. — x. Eu 

 posant — x = s on a donc 



z 



9,{^^j?^{t):A^-t)dt. (17) 



0 



De (13) ou déduit cette autre expression de [i^ 



, M^)=/piWp>-0'^^ (18) 



0 



et en changeant la variable d'intégration 



z 



p2i^)=j?'(f')PÅ^-t)dt. (19) 



0 



En comparant (17) et (19) on voit que ne change pas quand on permute p et pj. 

 Cela posé le théorème 2 permet d'affirmer l'égalité des deux limites susdites. Nous 

 avons donc démontré le théorème suivant: 



X 



Théorème 3. «Si l'on définit la fonction S?'^^)'^^'^ par le second membre de {16) 



a 



on peut affirmer que cette fonction ne dépend pas de p. Car si la limite existe pour 

 deux fonctions p différentes, qui satisfont aux conditions énumérées plus haut, ces deux 

 limites sont égales. 



Mais le théorème 2 permet d'aller un peu plus loin. Posons par exemple 

 q étant un nombre positif. La relation (18) prend la forme 



[4^ = ^^\{^-tr'[4t)dt. 



0 



Il résulte du théorème 2 que, si la limite au second membre de (16) existe 

 pour p = pj , cette limite existe a fortiori pour p = pg et les deux limites sont égales. 



Si q est un entier. [j^{z) est une intégrale itérée de p^{z) mais si q n'est pas 

 un entier pj^z) est une dérivée de p^{s) d'ordre fractionnaire au sens de Liouville et 

 Riemann. Posons en particuher 



