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N. E. Nörlund 



On trouve 



z 



1 r z^'^'' 



Ps(^) = T^r-p; ^ - 0"'' i^àt = 



0 



On a done ce résultat 



fl 



•fW|i-J)\,4. 



si la limite au second membre existe, l^ et q étant des nombres positifs quelconques. 



L'étude approfondie de ces méthodes de sommation dépend de l'équation iU' 

 tégrale (18) qui est du type de M. Voi.terra. On peut ainsi trouver une infinité 

 de théorèmes analogues à celui que nous venons d'indiquer. Mais nous réserverons 

 cette étude pour un autre mémoire. 



§ 4. Passons à une autre méthode de sommation. Supposons que {){z, \f) 

 soit de la forme 



[i{z) étant une fonction qui possède les propriétés suivantes: 



1" elle admet une dérivée continue et négative dans l'intervalle 0<<^^<1 1, 

 2° elle tend vers zéro quand z tend vers 1 par des valeurs inférieures à 1, 

 3° elle tend vers 1 quand z tend vers zéro par des valeurs [)Ositives. 



[j(z) est donc continue et positive dans cet intervalle et elle décroît de 1 à 0 quand 

 z varie de 0 à 1. 



En ce cas on a par définition 



S (.) Aj = Hm II .(^) r>(^) dz - Y, 'f (^) ■ (20) 



Je veux démontrer que cette limite ne dépend pas de p. 



Remarquons d'abord qu'on a, en vertu du théorème 1, 



hm 1 1 (^) [l^ - S ^..^ = 'i;'^ dz^Y^ Aj\^ , 



l*--"^ rt ^ a ^ 



si la limite au second membre existe. 



Soient p et p^ deux fonctions qui satisfont aux conditions 1°, 2° et 3°. Nous 

 en formerons une nouvelle fonction pg de la manière suivante 



1 



= - jp'(Op,(j)f^^, (21) 



z 



